Завдання 8.1
Теорема Фалеса (усно)A₁B₁ ∥ A₂B₂ ∥ A₃B₃, A₁A₂ = A₂A₃ = 4 см, B₁B₂ = 7 см. Знайдіть B₂B₃.
Розв’язання
A₁A₂ = A₂A₃, тож B₁B₂ = B₂B₃ = 7 см.
Відповідь:
7 см.
Повні розв’язки, як у зошиті. Хочеш розібратися самостійно — під кожним завданням є «Пояснення з репетитором».
§ 8. Теорема Фалеса
Завдання 8.2
Теорема Фалеса: знайти A₁A₂A₁B₁ ∥ A₂B₂ ∥ A₃B₃, B₁B₂ = B₂B₃, A₂A₃ = 5 см. Знайдіть A₁A₂.
Розв’язання
B₁B₂ = B₂B₃, тому A₁A₂ = A₂A₃ = 5 см.
Відповідь:
5 см.
Завдання 8.3
Знайти ON₂M₁N₁ ∥ M₂N₂, OM₁ = M₁M₂, ON₁ = 6 см. Знайдіть ON₂.
Розв’язання
N₁N₂ = ON₁ = 6 см, ON₂ = 12 см.
Відповідь:
12 см.
Завдання 8.4
Знайти OM₂M₁N₁ ∥ M₂N₂, ON₁ = N₁N₂ = 7 см, OM₁ = 4 см. Знайдіть OM₂.
Розв’язання
M₁M₂ = OM₁ = 4 см, OM₂ = 8 см.
Відповідь:
8 см.
Завдання 8.5
Поділ відрізка на 5 частинПоділіть відрізок на 5 рівних частин (лінійка без поділок).
Розв’язання
З кінця A проводимо промінь, відкладаємо циркулем 5 рівних відрізків AC₁, …, C₄C₅.
Сполучаємо C₅ з B, через C₁–C₄ проводимо прямі, паралельні C₅B.
Точки перетину з AB ділять його на 5 рівних частин.
Відповідь:
Побудова за теоремою Фалеса.
Завдання 8.6
Поділ відрізка на 7 частинПоділіть відрізок на 7 рівних частин.
Розв’язання
На допоміжному промені відкладаємо 7 рівних відрізків.
Сполучаємо сьому точку з B і проводимо паралельні прямі через інші точки.
Відповідь:
Побудова за теоремою Фалеса.
Завдання 8.7
Поділ у відношенні 2 : 5Поділіть відрізок на дві частини, відношення яких 2 : 5.
Розв’язання
Відкладаємо на промені 7 рівних відрізків, сполучаємо C₇ з B.
Через C₂ проводимо пряму, паралельну C₇B. Точка перетину з AB ділить його у відношенні 2 : 5.
Відповідь:
Побудова: 7 частин, межа після другої.
Завдання 8.8
Поділ у відношенні 3 : 2Поділіть відрізок у відношенні 3 : 2.
Розв’язання
На промені відкладаємо 5 рівних відрізків, сполучаємо C₅ з B.
Через C₃ проводимо пряму, паралельну C₅B: AD : DB = 3 : 2.
Відповідь:
Побудова: 5 частин, межа після третьої.
Завдання 8.9
Відрізки за відношенням і різницеюA₁A₂ = A₂A₃, A₁B₁ ∥ A₂B₂ ∥ A₃B₃, A₁A₂ : B₁B₂ = 3 : 5, B₂B₃ − A₂A₃ = 8 см. Знайдіть A₁A₂, A₂A₃, B₁B₂, B₂B₃.
Розв’язання
За Фалесом B₁B₂ = B₂B₃. Нехай A₁A₂ = A₂A₃ = 3x, B₁B₂ = B₂B₃ = 5x.
5x − 3x = 8, x = 4.
A₁A₂ = A₂A₃ = 12 см, B₁B₂ = B₂B₃ = 20 см.
Відповідь:
12 см, 12 см, 20 см, 20 см.
Завдання 8.10
Знайти ON₂ і OM₂ON₁ = N₁N₂, M₁N₁ ∥ M₂N₂, ON₁ : OM₁ = 7 : 4, N₁N₂ + M₁M₂ = 33 см. Знайдіть ON₂ і OM₂.
Розв’язання
ON₁ = N₁N₂ = 7x, OM₁ = M₁M₂ = 4x.
7x + 4x = 33, x = 3.
ON₂ = 42 см, OM₂ = 24 см.
Відповідь:
ON₂ = 42 см, OM₂ = 24 см.
Завдання 8.11
Діагональ ділиться на три рівні частиниM і N — середини AB і CD паралелограма ABCD. MD і BN перетинають AC у L і K. Доведіть, що AL = LK = KC.
Розв’язання
MB = ND і MB ∥ ND, тож MBND — паралелограм: ML ∥ BK.
Кут BAC: AM = MB і ML ∥ BK, за Фалесом AL = LK.
Кут DCA: CN = ND і NK ∥ DL, тож CK = KL.
Отже, AL = LK = KC.
Відповідь:
Доведено.
Завдання 8.12
Пряма CG ділить AB як 3 : 2Точки E, F, G ділять медіану AD △ABC на 4 рівні частини. Доведіть, що пряма CG ділить AB у відношенні 3 : 2 від вершини A.
Розв’язання
Нехай CG перетинає AB у P. Через D проводимо DQ ∥ CP.
У куті B: D — середина BC, DQ ∥ CP, тому Q — середина BP: BQ = QP.
У куті A: прямі через E, F, G, D, паралельні DQ, ділять AQ на 4 рівні частини. P відповідає точці G, тож AP — 3 частини, PQ — 1 частина.
PB = 2PQ = 2 частини, тож AP : PB = 3 : 2.
Відповідь:
Доведено.
Завдання 8.13
Пряма BN містить медіануТочки M і N ділять медіану AD △ABC на 3 рівні частини (AM = MN = ND). Доведіть, що пряма BN містить медіану трикутника.
Розв’язання
Нехай BN перетинає AC у P. Через D проводимо DQ ∥ BP (Q на AC).
D — середина BC, тож Q — середина PC: PQ = QC.
Прямі через M, N, D, паралельні BP, ділять AQ на 3 рівні частини: AP = 2 частини, PQ = 1.
PC = 2 частини = AP, тож P — середина AC, а BP — медіана.
Відповідь:
Доведено.
Завдання 8.14
Відношення AM : MCK — середина медіани AD △ABC. Промінь BK перетинає AC у M. Знайдіть AM : MC.
Розв’язання
DQ ∥ BM, Q на AC. D — середина BC, тож MQ = QC.
K — середина AD, KM ∥ DQ, тож AM = MQ.
AM = MQ = QC, отже AM : MC = 1 : 2.
Відповідь:
1 : 2.