Точки M і N ділять медіану AD △ABC на 3 рівні частини (AM = MN = ND). Доведіть, що пряма BN містить медіану трикутника.
Розв’язання
Нехай BN перетинає AC у P. Через D проводимо DQ ∥ BP (Q на AC).
D — середина BC, тож Q — середина PC: PQ = QC.
Прямі через M, N, D, паралельні BP, ділять AQ на 3 рівні частини: AP = 2 частини, PQ = 1.
PC = 2 частини = AP, тож P — середина AC, а BP — медіана.
Доведено.
Умова
Точки M і N ділять медіану AD △ABC на 3 рівні частини (AM = MN = ND). Доведіть, що пряма BN містить медіану трикутника.
Прийом для медіан: через кінець медіани D (середину BC) проводимо пряму, паралельну шуканій. За теоремою Фалеса в трикутнику з вершиною B (або C) вона ділить відрізок навпіл, а паралельні прямі через точки поділу медіани ділять інший відрізок на рівні частини.
Доведи, що BN перетинає AC у середині.
Розв’язання крок за кроком
Нехай BN перетинає AC у P. Через D проводимо DQ ∥ BP (Q на AC).
D — середина BC, тож Q — середина PC: PQ = QC.
Прямі через M, N, D, паралельні BP, ділять AQ на 3 рівні частини: AP = 2 частини, PQ = 1.
PC = 2 частини = AP, тож P — середина AC, а BP — медіана.
Доведено.