ГДЗ · Алгебра · 9 клас

Сторінка 27

Алгебра, Істер О. С., Істер Д. О., 2026 · № 2.10–2.21 · 12 завдань

Повні розв’язки, як у зошиті. Хочеш розібратися самостійно — під кожним завданням є «Пояснення з репетитором».

§ 2. Властивості числових нерівностей

Завдання 2.10

Оцінка виразу

Відомо, що $1 < p < 2$ . Оцініть: 1) $p + 3$ ; 2) $p - 4$ ; 3) $12 p$ ; 4) $\frac{p}{2}$ ; 5) $- p$ ; 6) $- 3 p$ .

Розв’язання

1) $1 + 3 < p + 3 < 2 + 3$ : $4 < p + 3 < 5$ .
2) $- 3 < p - 4 < - 2$ .
3) $12 < 12 p < 24$ .
4) $0, 5 < \frac{p}{2} < 1$ .
5) Множимо на $- 1$ і розвертаємо: $- 2 < - p < - 1$ .
6) $- 6 < - 3 p < - 3$ .

Відповідь:

1) $4 < p + 3 < 5$ ; 2) $- 3 < p - 4 < - 2$ ; 3) $12 < 12 p < 24$ ; 4) $0, 5 < \frac{p}{2} < 1$ ; 5) $- 2 < - p < - 1$ ; 6) $- 6 < - 3 p < - 3$ .

Завдання 2.11

Оцінка виразу

Відомо, що $2 < m < 10$ . Оцініть: 1) $m + 1$ ; 2) $m - 2$ ; 3) $3 m$ ; 4) $\frac{m}{5}$ ; 5) $- m$ ; 6) $- 7 m$ .

Розв’язання

1) $3 < m + 1 < 11$ ; 2) $0 < m - 2 < 8$ .
3) $6 < 3 m < 30$ ; 4) $0, 4 < \frac{m}{5} < 2$ .
5) $- 10 < - m < - 2$ ; 6) $- 70 < - 7 m < - 14$ .

Відповідь:

1) $3 < m + 1 < 11$ ; 2) $0 < m - 2 < 8$ ; 3) $6 < 3 m < 30$ ; 4) $0, 4 < \frac{m}{5} < 2$ ; 5) $- 10 < - m < - 2$ ; 6) $- 70 < - 7 m < - 14$ .

Завдання 2.12

Порівняння обернених чисел

Порівняйте: 1) $\frac{1}{a}$ і $\frac{1}{b}$ , якщо $a > 0$ , $b > 0$ і $a < b$ ; 2) $\frac{1}{m}$ і $\frac{1}{n}$ , якщо $m > n$ , $m$ і $n$ — додатні.

Розв’язання

1) $a$ і $b$ додатні, $a < b$ , тому $\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$ .
2) $m > n > 0$ , тому $\frac{1}{m} < \frac{1}{n}$ .

Відповідь:

1) $\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$ ; 2) $\frac{1}{m} < \frac{1}{n}$ .

Завдання 2.13

Порівняння обернених чисел

Порівняйте: 1) $\frac{1}{x}$ і $\frac{1}{5}$ , якщо $x > 5$ ; 2) $\frac{1}{b}$ і $\frac{1}{2}$ , якщо $0 < b < 2$ .

Розв’язання

1) $x > 5 > 0$ , тож $\frac{1}{x} < \frac{1}{5}$ .
2) $0 < b < 2$ , тож $\frac{1}{b} > \frac{1}{2}$ .

Відповідь:

1) $\frac{1}{x} < \frac{1}{5}$ ; 2) $\frac{1}{b} > \frac{1}{2}$ .

Завдання 2.14

Порівняння обернених чисел

Порівняйте: 1) $\frac{1}{a}$ і $\frac{1}{9}$ , якщо $0 < a < 9$ ; 2) $\frac{1}{c}$ і $\frac{1}{3}$ , якщо $c > 3$ .

Розв’язання

1) $0 < a < 9 \Rightarrow \frac{1}{a} > \frac{1}{9}$ .
2) $c > 3 > 0 \Rightarrow \frac{1}{c} < \frac{1}{3}$ .

Відповідь:

1) $\frac{1}{a} > \frac{1}{9}$ ; 2) $\frac{1}{c} < \frac{1}{3}$ .

Завдання 2.15

Оцінка оберненого числа

Оцініть значення виразу $\frac{1}{a}$ , якщо $10 < a < 20$ .

Розв’язання

Усі частини додатні, тому $\frac{1}{20} < \frac{1}{a} < \frac{1}{10}$ .

Відповідь:

$0, 05 < \frac{1}{a} < 0, 1$ .

Завдання 2.16

Оцінка оберненого числа

Оцініть значення виразу $\frac{1}{x}$ , якщо $5 < x < 10$ .

Розв’язання

$\frac{1}{10} < \frac{1}{x} < \frac{1}{5}$ .

Відповідь:

$0, 1 < \frac{1}{x} < 0, 2$ .

Завдання 2.17

Порівняння з нулем

Порівняйте $a$ з нулем, якщо: 1) $a + 2 > b + 2$ і $b ⩾ 0, 3$ ; 2) $a - 3 < p - 3$ і $p < - 0, 7$ ; 3) $7 a > 7 x$ і $x > 8$ ; 4) $- 9 a < - 9 b$ і $b ⩾ 13$ .

Розв’язання

1) Віднімаємо 2: $a > b ⩾ 0, 3$ , отже $a > 0$ .
2) Додаємо 3: $a < p < - 0, 7$ , отже $a < 0$ .
3) Ділимо на 7: $a > x > 8$ , отже $a > 0$ .
4) Ділимо на $- 9$ (знак змінюється): $a > b ⩾ 13$ , отже $a > 0$ .

Відповідь:

1) $a > 0$ ; 2) $a < 0$ ; 3) $a > 0$ ; 4) $a > 0$ .

Завдання 2.18

Порівняння з нулем

Порівняйте $x$ з нулем, якщо: 1) $x - 5 < y - 5$ і $y < - 1$ ; 2) $x + 7 > a + 7$ і $a ⩾ 1$ ; 3) $2 x > 2 p$ і $p > 0, 17$ ; 4) $- x > - t$ і $t ⩽ - 2, 5$ .

Розв’язання

1) $x < y < - 1 \Rightarrow x < 0$ .
2) $x > a ⩾ 1 \Rightarrow x > 0$ .
3) $x > p > 0, 17 \Rightarrow x > 0$ .
4) Множимо на $- 1$ : $x < t ⩽ - 2, 5 \Rightarrow x < 0$ .

Відповідь:

1) $x < 0$ ; 2) $x > 0$ ; 3) $x > 0$ ; 4) $x < 0$ .

Завдання 2.19

Чи правильне твердження

Чи правильне твердження: 1) якщо $a > 5$ , то $\frac{1}{a} < \frac{1}{5}$ ; 2) якщо $a < 5$ , то $\frac{1}{a} > \frac{1}{5}$ ?

Розв’язання

1) $a > 5 > 0$ — обидва числа додатні, тож $\frac{1}{a} < \frac{1}{5}$ . Правильне.
2) Контрприклад: $a = - 1 < 5$ , але $\frac{1}{- 1} = - 1 < \frac{1}{5}$ . Неправильне (до того ж при $a = 0$ дріб не має змісту).

Відповідь:

1) Так; 2) ні.

Завдання 2.20

Порівняння виразів за умови x > y

Відомо, що $x > y$ . Порівняйте, якщо можливо: 1) $x + 2$ і $y$ ; 2) $y - 3$ і $x$ ; 3) $- x + 1$ і $- y + 1$ ; 4) $- x$ і $- y + 8$ ; 5) $- (x + 1)$ і $- y$ ; 6) $x - 1$ і $y + 2$ .

Розв’язання

1) $x + 2 > x > y$ , тож $x + 2 > y$ .
2) $y - 3 < y < x$ , тож $y - 3 < x$ .
3) $- x < - y$ , тож $- x + 1 < - y + 1$ .
4) $- x < - y < - y + 8$ , тож $- x < - y + 8$ .
5) $- (x + 1) = - x - 1 < - x < - y$ .
6) $(x - 1) - (y + 2) = (x - y) - 3$ — знак залежить від того, наскільки $x$ більший за $y$ (напр., $x = 10, y = 0$ дає $9 > 2$ ; $x = 1, y = 0$ дає $0 < 2$ ). Порівняти неможливо.

Відповідь:

1) $>$ ; 2) $<$ ; 3) $<$ ; 4) $<$ ; 5) $<$ ; 6) порівняти неможливо.

Завдання 2.21

Порівняння виразів за умови a < b

Відомо, що $a < b$ . Порівняйте, якщо можливо: 1) $a - 2$ і $b$ ; 2) $b + 3$ і $a$ ; 3) $- a + 2$ і $- b + 2$ ; 4) $- b - 7$ і $- a$ ; 5) $- a$ і $- (b + 3)$ ; 6) $a + 3$ і $b - 1$ .

Розв’язання

1) $a - 2 < a < b$ .
2) $b + 3 > b > a$ .
3) $- a > - b$ , тож $- a + 2 > - b + 2$ .
4) $- b - 7 < - b < - a$ .
5) $- (b + 3) = - b - 3 < - b < - a$ , тож $- a > - (b + 3)$ .
6) $(a + 3) - (b - 1) = (a - b) + 4$ — може бути будь-якого знака. Порівняти неможливо.

Відповідь:

1) $<$ ; 2) $>$ ; 3) $>$ ; 4) $<$ ; 5) $>$ ; 6) неможливо.