ГДЗ · Алгебра · 9 клас

Сторінка 28

Алгебра, Істер О. С., Істер Д. О., 2026 · № 2.22–2.34 · 13 завдань

Повні розв’язки, як у зошиті. Хочеш розібратися самостійно — під кожним завданням є «Пояснення з репетитором».

§ 2. Властивості числових нерівностей

Завдання 2.22

Оцінка виразів

Відомо, що $1, 2 < x < 1, 5$ . Оцініть: 1) $2 x + 0, 7$ ; 2) $5 - x$ ; 3) $\frac{x}{3} - 1$ ; 4) $2 - 10 x$ .

Розв’язання

1) $2, 4 < 2 x < 3 \Rightarrow 3, 1 < 2 x + 0, 7 < 3, 7$ .
2) $- 1, 5 < - x < - 1, 2 \Rightarrow 3, 5 < 5 - x < 3, 8$ .
3) $0, 4 < \frac{x}{3} < 0, 5 \Rightarrow - 0, 6 < \frac{x}{3} - 1 < - 0, 5$ .
4) $12 < 10 x < 15 \Rightarrow - 15 < - 10 x < - 12 \Rightarrow - 13 < 2 - 10 x < - 10$ .

Відповідь:

1) $3, 1 < 2 x + 0, 7 < 3, 7$ ; 2) $3, 5 < 5 - x < 3, 8$ ; 3) $- 0, 6 < \frac{x}{3} - 1 < - 0, 5$ ; 4) $- 13 < 2 - 10 x < - 10$ .

Завдання 2.23

Оцінка виразів

Відомо, що $0, 8 < a < 1, 2$ . Оцініть: 1) $3 a - 0, 2$ ; 2) $4 - a$ ; 3) $\frac{a}{2} + 3$ ; 4) $10 - 5 a$ .

Розв’язання

1) $2, 4 < 3 a < 3, 6 \Rightarrow 2, 2 < 3 a - 0, 2 < 3, 4$ .
2) $- 1, 2 < - a < - 0, 8 \Rightarrow 2, 8 < 4 - a < 3, 2$ .
3) $0, 4 < \frac{a}{2} < 0, 6 \Rightarrow 3, 4 < \frac{a}{2} + 3 < 3, 6$ .
4) $4 < 5 a < 6 \Rightarrow - 6 < - 5 a < - 4 \Rightarrow 4 < 10 - 5 a < 6$ .

Відповідь:

1) $2, 2 < 3 a - 0, 2 < 3, 4$ ; 2) $2, 8 < 4 - a < 3, 2$ ; 3) $3, 4 < \frac{a}{2} + 3 < 3, 6$ ; 4) $4 < 10 - 5 a < 6$ .

Завдання 2.24

Оцінка дробових виразів

Оцініть значення виразу: 1) $\frac{20}{a}$ , якщо $2 < a < 5$ ; 2) $\frac{1}{3 a + 4}$ , якщо $- 1 < a < 2$ .

Розв’язання

1) $\frac{1}{5} < \frac{1}{a} < \frac{1}{2}$ , множимо на 20: $4 < \frac{20}{a} < 10$ .
2) $- 3 < 3 a < 6 \Rightarrow 1 < 3 a + 4 < 10$ . Знаменник додатний, тож $\frac{1}{10} < \frac{1}{3 a + 4} < 1$ .

Відповідь:

1) $4 < \frac{20}{a} < 10$ ; 2) $0, 1 < \frac{1}{3 a + 4} < 1$ .

Завдання 2.25

Оцінка дробових виразів

Оцініть: 1) $\frac{100}{x}$ , якщо $5 < x < 10$ ; 2) $\frac{1}{2 x - 3}$ , якщо $2 < x < 4$ .

Розв’язання

1) $\frac{1}{10} < \frac{1}{x} < \frac{1}{5} \Rightarrow 10 < \frac{100}{x} < 20$ .
2) $4 < 2 x < 8 \Rightarrow 1 < 2 x - 3 < 5 \Rightarrow \frac{1}{5} < \frac{1}{2 x - 3} < 1$ .

Відповідь:

1) $10 < \frac{100}{x} < 20$ ; 2) $0, 2 < \frac{1}{2 x - 3} < 1$ .

Завдання 2.26

Задача про рівносторонній трикутник

Ділянка має форму рівностороннього трикутника з периметром $P$ м. Оцініть сторону $a$ , якщо $126 < P < 150$ .

Розв’язання

$a = \frac{P}{3}$ , тому $\frac{126}{3} < a < \frac{150}{3}$ .
$42 < a < 50$ .

Відповідь:

$42 < a < 50$ (м).

Завдання 2.27

Задача про мішки з цукром

Маса чотирьох однакових мішків із цукром — $m$ кг. Оцініть масу $p$ одного мішка, якщо $192 < m < 204$ .

Розв’язання

$\frac{192}{4} < \frac{m}{4} < \frac{204}{4}$ , тобто $48 < p < 51$ .

Відповідь:

$48 < p < 51$ (кг).

Завдання 2.28

Порівняння x і y

Порівняйте $x$ і $y$ , якщо: 1) $x + 2 > m > y + 3$ ; 2) $x - 2 < p < y - 3$ .

Розв’язання

1) $x + 2 > y + 3$ , отже $x > y + 1 > y$ .
2) $x - 2 < y - 3$ , отже $x < y - 1 < y$ .

Відповідь:

1) $x > y$ ; 2) $x < y$ .

Завдання 2.29

Порівняння a і b

Порівняйте $a$ і $b$ , якщо: 1) $a + 3 < c < b + 2$ ; 2) $a - 7 > d > b - 5$ .

Розв’язання

1) $a + 3 < b + 2 \Rightarrow a < b - 1 < b$ .
2) $a - 7 > b - 5 \Rightarrow a > b + 2 > b$ .

Відповідь:

1) $a < b$ ; 2) $a > b$ .

Завдання 2.30

Оцінка дробу

Відомо, що $1 < a < 2$ . Оцініть значення виразу $\frac{12}{7 - 3 a}$ .

Розв’язання

$3 < 3 a < 6 \Rightarrow - 6 < - 3 a < - 3 \Rightarrow 1 < 7 - 3 a < 4$ .
Знаменник додатний: $\frac{1}{4} < \frac{1}{7 - 3 a} < 1$ .
Множимо на 12: $3 < \frac{12}{7 - 3 a} < 12$ .

Відповідь:

$3 < \frac{12}{7 - 3 a} < 12$ .

Завдання 2.31

Оцінка дробу

Відомо, що $2 < b < 5$ . Оцініть значення виразу $\frac{27}{13 - 2 b}$ .

Розв’язання

$4 < 2 b < 10 \Rightarrow - 10 < - 2 b < - 4 \Rightarrow 3 < 13 - 2 b < 9$ .
$\frac{1}{9} < \frac{1}{13 - 2 b} < \frac{1}{3}$ , множимо на 27: $3 < \frac{27}{13 - 2 b} < 9$ .

Відповідь:

$3 < \frac{27}{13 - 2 b} < 9$ .

Завдання 2.32

Оцінка дробу зі змінною в знаменнику

Дано $- 2 < x < 2$ . Оцініть значення виразу $\frac{6}{x}$ .

Розв’язання

Якщо $0 < x < 2$ , то $\frac{1}{x} > \frac{1}{2}$ , отже $\frac{6}{x} > 3$ .
Якщо $- 2 < x < 0$ , то $\frac{1}{x} < - \frac{1}{2}$ , отже $\frac{6}{x} < - 3$ .

Відповідь:

$\frac{6}{x} < - 3$ або $\frac{6}{x} > 3$ .

Завдання 2.33

Дії з дробами (повторення)

Виконайте дії: 1) $\frac{x + 3 y}{3 x} - \frac{x + 2 y}{2 x}$ ; 2) $\frac{1}{m ( m + n )} + \frac{1}{n ( m + n )}$ ; 3) $\frac{3 p ^{2}}{p - 2} - 3 p$ ; 4) $\frac{a}{a - 5} + \frac{5}{5 - a}$ .

Розв’язання

1) $\frac{2 ( x + 3 y ) - 3 ( x + 2 y )}{6 x} = \frac{2 x + 6 y - 3 x - 6 y}{6 x} = \frac{- x}{6 x} = - \frac{1}{6}$ .
2) $\frac{n + m}{mn ( m + n )} = \frac{1}{mn}$ .
3) $\frac{3 p ^{2} - 3 p ( p - 2 )}{p - 2} = \frac{3 p ^{2} - 3 p ^{2} + 6 p}{p - 2} = \frac{6 p}{p - 2}$ .
4) $\frac{a}{a - 5} - \frac{5}{a - 5} = \frac{a - 5}{a - 5} = 1$ .

Відповідь:

1) $- \frac{1}{6}$ ; 2) $\frac{1}{mn}$ ; 3) $\frac{6 p}{p - 2}$ ; 4) $1$ .

Завдання 2.34

Дробово-раціональні рівняння (повторення)

Розв’яжіть рівняння: 1) $\frac{x + 3}{x + 1} - \frac{x + 2}{1 - x} = \frac{x + 5}{x ^{2} - 1}$ ; 2) $\frac{3}{x} - \frac{x}{2 - x} = \frac{x + 2}{x ^{2} - 2 x}$ .

Розв’язання

1) Перепишемо: $\frac{x + 3}{x + 1} + \frac{x + 2}{x - 1} = \frac{x + 5}{( x - 1 ) ( x + 1 )}$ , $x \neq = \pm 1$ .
Множимо на $(x - 1) (x + 1)$ : $(x + 3) (x - 1) + (x + 2) (x + 1) = x + 5$ , тобто $2 x^{2} + 4 x - 6 = 0$ , $x^{2} + 2 x - 3 = 0$ .
Корені $x = 1$ і $x = - 3$ ; $x = 1$ не підходить. Відповідь 1): $x = - 3$ .
2) Перепишемо: $\frac{3}{x} + \frac{x}{x - 2} = \frac{x + 2}{x ( x - 2 )}$ , $x \neq = 0$ , $x \neq = 2$ .
Множимо на $x (x - 2)$ : $3 (x - 2) + x^{2} = x + 2$ , тобто $x^{2} + 2 x - 8 = 0$ , корені $2$ і $- 4$ ; $x = 2$ не підходить.

Відповідь:

1) $x = - 3$ ; 2) $x = - 4$ .