ГДЗ · Алгебра · 8 клас

Сторінка 22

Алгебра, Істер, 2025 · № 2.9–2.17 · 9 завдань

Повні розв’язки, як у зошиті. Хочеш розібратися самостійно — під кожним завданням є «Пояснення з репетитором».

§ 2. Основна властивість раціонального дробу

Завдання 2.9

Скоротити дроби з дужками (ще)

1) $\frac{x ( b + 7 )}{y ( b + 7 )}$ ; 2) $\frac{5 ( m - 3 ) ^{3}}{( m - 3 ) ^{4}}$ ; 3) $\frac{a ^{2} y ( x - 2 ) ^{2}}{a y ( x - 2 )}$ ; 4) $\frac{12 x ^{3} ( y - 7 )}{16 x ^{2} ( y - 7 ) ^{2}}$ .

Розв’язання

1) $\frac{x}{y}$ ; 2) $\frac{5}{m - 3}$ .
3) $a (x - 2)$ ; 4) $\frac{3 x}{4 ( y - 7 )}$ .

Відповідь:

1) $\frac{x}{y}$ ; 2) $\frac{5}{m - 3}$ ; 3) $a (x - 2)$ ; 4) $\frac{3 x}{4 ( y - 7 )}$ .

Завдання 2.10

Розкласти і скоротити

1) $\frac{4 a + 12 b}{16 ab}$ ; 2) $\frac{5 x - 5 y}{7 ( x - y )}$ ; 3) $\frac{3 m ( x + 2 )}{x ^{2} + 2 x}$ ; 4) $\frac{a x - a}{a}$ ; 5) $\frac{y}{y ^{2} - y x}$ ; 6) $\frac{2 x - 6 y}{5 x - 15 y}$ ; 7) $\frac{a + 2 b}{a ^{2} + 2 ab}$ ; 8) $\frac{2 x ^{2} - 10 x y}{x - 5 y}$ .

Розв’язання

1) $\frac{4 ( a + 3 b )}{16 ab} = \frac{a + 3 b}{4 ab}$ ; 2) $\frac{5 ( x - y )}{7 ( x - y )} = \frac{5}{7}$ .
3) $\frac{3 m ( x + 2 )}{x ( x + 2 )} = \frac{3 m}{x}$ ; 4) $\frac{a ( x - 1 )}{a} = x - 1$ .
5) $\frac{y}{y ( y - x )} = \frac{1}{y - x}$ ; 6) $\frac{2 ( x - 3 y )}{5 ( x - 3 y )} = \frac{2}{5}$ .
7) $\frac{a + 2 b}{a ( a + 2 b )} = \frac{1}{a}$ ; 8) $\frac{2 x ( x - 5 y )}{x - 5 y} = 2 x$ .

Відповідь:

1) $\frac{a + 3 b}{4 ab}$ ; 2) $\frac{5}{7}$ ; 3) $\frac{3 m}{x}$ ; 4) $x - 1$ ; 5) $\frac{1}{y - x}$ ; 6) $\frac{2}{5}$ ; 7) $\frac{1}{a}$ ; 8) $2 x$ .

Завдання 2.11

Розкласти і скоротити (ще)

1) $\frac{3 a + 15 b}{9 ab}$ ; 2) $\frac{mn - m}{4 ( n - 1 )}$ ; 3) $\frac{p ^{2} - 3 p}{4 k ( p - 3 )}$ ; 4) $\frac{x y - 2 x}{x}$ ; 5) $\frac{m}{m ^{2} + mn}$ ; 6) $\frac{4 a - 12 c}{7 a - 21 c}$ .

Розв’язання

1) $\frac{3 ( a + 5 b )}{9 ab} = \frac{a + 5 b}{3 ab}$ ; 2) $\frac{m ( n - 1 )}{4 ( n - 1 )} = \frac{m}{4}$ .
3) $\frac{p ( p - 3 )}{4 k ( p - 3 )} = \frac{p}{4 k}$ ; 4) $\frac{x ( y - 2 )}{x} = y - 2$ .
5) $\frac{m}{m ( m + n )} = \frac{1}{m + n}$ ; 6) $\frac{4 ( a - 3 c )}{7 ( a - 3 c )} = \frac{4}{7}$ .

Відповідь:

1) $\frac{a + 5 b}{3 ab}$ ; 2) $\frac{m}{4}$ ; 3) $\frac{p}{4 k}$ ; 4) $y - 2$ ; 5) $\frac{1}{m + n}$ ; 6) $\frac{4}{7}$ .

Завдання 2.12

Скоротити: знаки й формули

1) $\frac{a ( x - y )}{5 ( y - x )}$ ; 2) $\frac{3 a - 9 b}{15 b - 5 a}$ ; 3) $\frac{7 y - 14}{y ^{2} - 4}$ ; 4) $\frac{m ^{2} - 9}{m ^{2} - 6 m + 9}$ ; 5) $\frac{p ^{2} - 1}{p ^{3} - p ^{2}}$ ; 6) $\frac{x ^{2} + 10 x + 25}{m x + 5 m}$ .

Розв’язання

1) $\frac{a ( x - y )}{- 5 ( x - y )} = - \frac{a}{5}$ .
2) $\frac{3 ( a - 3 b )}{- 5 ( a - 3 b )} = - \frac{3}{5}$ .
3) $\frac{7 ( y - 2 )}{( y - 2 ) ( y + 2 )} = \frac{7}{y + 2}$ .
4) $\frac{( m - 3 ) ( m + 3 )}{( m - 3 ) ^{2}} = \frac{m + 3}{m - 3}$ .
5) $\frac{( p - 1 ) ( p + 1 )}{p ^{2} ( p - 1 )} = \frac{p + 1}{p ^{2}}$ .
6) $\frac{( x + 5 ) ^{2}}{m ( x + 5 )} = \frac{x + 5}{m}$ .

Відповідь:

1) $- \frac{a}{5}$ ; 2) $- \frac{3}{5}$ ; 3) $\frac{7}{y + 2}$ ; 4) $\frac{m + 3}{m - 3}$ ; 5) $\frac{p + 1}{p ^{2}}$ ; 6) $\frac{x + 5}{m}$ .

Завдання 2.13

Скоротити: знаки й формули (ще)

1) $\frac{m ( p - 2 )}{a ( 2 - p )}$ ; 2) $\frac{3 a + 12}{a ^{2} - 16}$ ; 3) $\frac{x ^{2} - 4 x + 4}{x ^{2} - 4}$ ; 4) $\frac{m c + 4 c}{m ^{2} + 8 m + 16}$ .

Розв’язання

1) $2 - p = - (p - 2)$ : $- \frac{m}{a}$ .
2) $\frac{3 ( a + 4 )}{( a - 4 ) ( a + 4 )} = \frac{3}{a - 4}$ .
3) $\frac{( x - 2 ) ^{2}}{( x - 2 ) ( x + 2 )} = \frac{x - 2}{x + 2}$ .
4) $\frac{c ( m + 4 )}{( m + 4 ) ^{2}} = \frac{c}{m + 4}$ .

Відповідь:

1) $- \frac{m}{a}$ ; 2) $\frac{3}{a - 4}$ ; 3) $\frac{x - 2}{x + 2}$ ; 4) $\frac{c}{m + 4}$ .

Завдання 2.14

Спростити дроби зі степенями

1) $\frac{a ^{5} - a ^{3}}{a ^{4} - a ^{2}}$ ; 2) $\frac{p ^{9} + p ^{7}}{p ^{5} + p ^{7}}$ ; 3) $\frac{2 a ^{2} - a ^{3}}{a ^{6} - 2 a ^{5}}$ ; 4) $\frac{5 c ^{5} - 10 c ^{4}}{12 c ^{5} - 6 c ^{6}}$ .

Розв’язання

1) $\frac{a ^{3} ( a ^{2} - 1 )}{a ^{2} ( a ^{2} - 1 )} = a$ .
2) $\frac{p ^{7} ( p ^{2} + 1 )}{p ^{5} ( 1 + p ^{2} )} = p^{2}$ .
3) $\frac{a ^{2} ( 2 - a )}{a ^{5} ( a - 2 )} = - \frac{1}{a ^{3}}$ .
4) $\frac{5 c ^{4} ( c - 2 )}{6 c ^{5} ( 2 - c )} = - \frac{5}{6 c}$ .

Відповідь:

1) $a$ ; 2) $p^{2}$ ; 3) $- \frac{1}{a ^{3}}$ ; 4) $- \frac{5}{6 c}$ .

Завдання 2.15

Спростити дроби зі степенями (ще)

1) $\frac{t ^{9} - t ^{8}}{t ^{8} - t ^{7}}$ ; 2) $\frac{a ^{6} + a ^{3}}{a ^{9} + a ^{6}}$ ; 3) $\frac{3 b ^{2} - b ^{3}}{b ^{8} - 3 b ^{7}}$ ; 4) $\frac{4 a ^{4} - 8 a ^{3}}{12 a ^{2} - 6 a ^{3}}$ .

Розв’язання

1) $\frac{t ^{8} ( t - 1 )}{t ^{7} ( t - 1 )} = t$ .
2) $\frac{a ^{3} ( a ^{3} + 1 )}{a ^{6} ( a ^{3} + 1 )} = \frac{1}{a ^{3}}$ .
3) $\frac{b ^{2} ( 3 - b )}{b ^{7} ( b - 3 )} = - \frac{1}{b ^{5}}$ .
4) $\frac{4 a ^{3} ( a - 2 )}{6 a ^{2} ( 2 - a )} = - \frac{2 a}{3}$ .

Відповідь:

1) $t$ ; 2) $\frac{1}{a ^{3}}$ ; 3) $- \frac{1}{b ^{5}}$ ; 4) $- \frac{2 a}{3}$ .

Завдання 2.16

Скоротити: куби та групування

1) $\frac{m ^{2} n - m}{m ^{2} - m ^{3} n}$ ; 2) $\frac{15 m ^{3} - 15 mn}{10 n ^{2} - 10 n m ^{2}}$ ; 3) $\frac{m ^{3} + 27}{m ^{2} - 3 m + 9}$ ; 4) $\frac{20 + 10 a + 5 a ^{2}}{a ^{3} - 8}$ ; 5) $\frac{3 p + p n - 3 y - y n}{7 p - 7 y}$ ; 6) $\frac{am + an - bm - bn}{am - an - bm + bn}$ .

Розв’язання

1) $\frac{m ( mn - 1 )}{m ^{2} ( 1 - mn )} = - \frac{1}{m}$ .
2) $\frac{15 m ( m ^{2} - n )}{10 n ( n - m ^{2} )} = - \frac{3 m}{2 n}$ .
3) $\frac{( m + 3 ) ( m ^{2} - 3 m + 9 )}{m ^{2} - 3 m + 9} = m + 3$ .
4) $\frac{5 ( a ^{2} + 2 a + 4 )}{( a - 2 ) ( a ^{2} + 2 a + 4 )} = \frac{5}{a - 2}$ .
5) $p (3 + n) - y (3 + n) = (n + 3) (p - y)$ , тож $\frac{( n + 3 ) ( p - y )}{7 ( p - y )} = \frac{n + 3}{7}$ .
6) Чисельник $(a - b) (m + n)$ , знаменник $a (m - n) - b (m - n) = (a - b) (m - n)$ : $\frac{m + n}{m - n}$ .

Відповідь:

1) $- \frac{1}{m}$ ; 2) $- \frac{3 m}{2 n}$ ; 3) $m + 3$ ; 4) $\frac{5}{a - 2}$ ; 5) $\frac{n + 3}{7}$ ; 6) $\frac{m + n}{m - n}$ .

Завдання 2.17

Скоротити: куби та групування (ще)

1) $\frac{16 p ^{3} - 16 pq}{12 p ^{3} q - 12 p q ^{2}}$ ; 2) $\frac{a ^{2} - 2 a + 4}{a ^{3} + 8}$ ; 3) $\frac{7 + 7 a + 7 a ^{2}}{a ^{3} - 1}$ ; 4) $\frac{5 m + an - 5 n - am}{a ^{2} - 10 a + 25}$ .

Розв’язання

1) $\frac{16 p ( p ^{2} - q )}{12 pq ( p ^{2} - q )} = \frac{4}{3 q}$ .
2) $\frac{a ^{2} - 2 a + 4}{( a + 2 ) ( a ^{2} - 2 a + 4 )} = \frac{1}{a + 2}$ .
3) $\frac{7 ( a ^{2} + a + 1 )}{( a - 1 ) ( a ^{2} + a + 1 )} = \frac{7}{a - 1}$ .
4) Чисельник: $5 (m - n) - a (m - n) = (5 - a) (m - n) = - (a - 5) (m - n)$ ; знаменник $(a - 5)^{2}$ . Маємо $- \frac{m - n}{a - 5} = \frac{n - m}{a - 5}$ .

Відповідь:

1) $\frac{4}{3 q}$ ; 2) $\frac{1}{a + 2}$ ; 3) $\frac{7}{a - 1}$ ; 4) $\frac{n - m}{a - 5}$ .