ГДЗ · Алгебра · 8 клас

Сторінка 23

Алгебра, Істер, 2025 · № 2.18–2.22 · 5 завдань

Повні розв’язки, як у зошиті. Хочеш розібратися самостійно — під кожним завданням є «Пояснення з репетитором».

§ 2. Основна властивість раціонального дробу

Завдання 2.18

Звести до знаменника-многочлена

1) $\frac{5}{a - b}$ до $a^{2} - ab$ ; 2) $\frac{4}{m + n}$ до $m^{2} + 2 mn + n^{2}$ ; 3) $\frac{9}{x - y}$ до $x^{2} - y^{2}$ ; 4) $\frac{4}{k - 1}$ до $k^{3} - 1$ ; 5) $\frac{a}{a - b}$ до $b - a$ ; 6) $\frac{p}{p - 2}$ до $4 - p^{2}$ .

Розв’язання

1) $a^{2} - ab = a (a - b)$ , множник $a$ : $\frac{5 a}{a ^{2} - ab}$ .
2) $(m + n)^{2}$ , множник $m + n$ : $\frac{4 m + 4 n}{m ^{2} + 2 mn + n ^{2}}$ .
3) $(x - y) (x + y)$ , множник $x + y$ : $\frac{9 x + 9 y}{x ^{2} - y ^{2}}$ .
4) $k^{3} - 1 = (k - 1) (k^{2} + k + 1)$ : $\frac{4 k ^{2} + 4 k + 4}{k ^{3} - 1}$ .
5) $b - a = - (a - b)$ , множник $- 1$ : $\frac{- a}{b - a}$ .
6) $4 - p^{2} = - (p - 2) (p + 2)$ , множник $- (p + 2)$ : $\frac{- p ^{2} - 2 p}{4 - p ^{2}}$ .

Відповідь:

1) $\frac{5 a}{a ^{2} - ab}$ ; 2) $\frac{4 m + 4 n}{m ^{2} + 2 mn + n ^{2}}$ ; 3) $\frac{9 x + 9 y}{x ^{2} - y ^{2}}$ ; 4) $\frac{4 k ^{2} + 4 k + 4}{k ^{3} - 1}$ ; 5) $\frac{- a}{b - a}$ ; 6) $\frac{- p ^{2} - 2 p}{4 - p ^{2}}$ .

Завдання 2.19

Звести до знаменника-многочлена (ще)

1) $\frac{7}{m + n}$ до $m^{2} + mn$ ; 2) $\frac{4}{x - y}$ до $x^{2} - 2 x y + y^{2}$ ; 3) $\frac{a}{a + b}$ до $a^{2} - b^{2}$ ; 4) $\frac{c}{c - 7}$ до $7 - c$ .

Розв’язання

1) $m (m + n)$ , множник $m$ : $\frac{7 m}{m ^{2} + mn}$ .
2) $(x - y)^{2}$ , множник $x - y$ : $\frac{4 x - 4 y}{x ^{2} - 2 x y + y ^{2}}$ .
3) $(a - b) (a + b)$ , множник $a - b$ : $\frac{a ^{2} - ab}{a ^{2} - b ^{2}}$ .
4) множник $- 1$ : $\frac{- c}{7 - c}$ .

Відповідь:

1) $\frac{7 m}{m ^{2} + mn}$ ; 2) $\frac{4 x - 4 y}{x ^{2} - 2 x y + y ^{2}}$ ; 3) $\frac{a ^{2} - ab}{a ^{2} - b ^{2}}$ ; 4) $\frac{- c}{7 - c}$ .

Завдання 2.20

Перемоги України на «Євробаченні»

Знайдіть значення виразу $- \frac{( c ^{3} ) ^{5} ( x ^{12} ) ^{2}}{9 ( c ^{6} ) ^{2} ( x ^{3} ) ^{8}}$ при $c = - 3$ , $x = 2025$ .

Розв’язання

Чисельник: $c^{15} x^{24}$ ; знаменник: $9 c^{12} x^{24}$ .
Вираз дорівнює $- \frac{c ^{15} x ^{24}}{9 c ^{12} x ^{24}} = - \frac{c ^{3}}{9}$ .
$c = - 3$ : $- \frac{- 27}{9} = 3$ .
Україна перемагала тричі: 2004 (Руслана), 2016 (Джамала), 2022 (Kalush Orchestra).

Відповідь:

Завдання 2.21

Століття заснування Кам’янця-Подільського

Обчисліть $\frac{6 x ^{2} - 3 x y}{8 x y - 4 y ^{2}}$ при $x = - 4$ , $y = - \frac{1}{4}$ .

Розв’язання

$\frac{3 x ( 2 x - y )}{4 y ( 2 x - y )} = \frac{3 x}{4 y}$ (тут $2 x - y = - 7, 75 \neq = 0$ ).
$\frac{3 \cdot ( - 4 )}{4 \cdot ( - \frac{1}{4} )} = \frac{- 12}{- 1} = 12$ .
Отже, місто засноване у XII столітті.

Відповідь:

12 (XII століття).

Завдання 2.22

Скоротити складніші дроби

1) $\frac{( x + 2 ) ^{2} - ( x - 2 ) ^{2}}{48 x}$ ; 2) $\frac{x ^{3} - y ^{3}}{x ^{4} - y ^{4}}$ ; 3) $\frac{( 3 b - 9 c ) ^{2}}{5 b - 15 c}$ .

Розв’язання

1) $(x + 2)^{2} - (x - 2)^{2} = 8 x$ , тож $\frac{8 x}{48 x} = \frac{1}{6}$ .
2) $\frac{( x - y ) ( x ^{2} + x y + y ^{2} )}{( x - y ) ( x + y ) ( x ^{2} + y ^{2} )} = \frac{x ^{2} + x y + y ^{2}}{( x + y ) ( x ^{2} + y ^{2} )}$ .
3) $\frac{9 ( b - 3 c ) ^{2}}{5 ( b - 3 c )} = \frac{9 ( b - 3 c )}{5}$ .

Відповідь:

1) $\frac{1}{6}$ ; 2) $\frac{x ^{2} + x y + y ^{2}}{( x + y ) ( x ^{2} + y ^{2} )}$ ; 3) $\frac{9 ( b - 3 c )}{5}$ .