ГДЗ Алгебра 8 клас Істер — сторінка 67

Завдання 8.20

Рівносильність (дробові рівняння)

Чи рівносильні рівняння $\frac{2 x + 6}{x + 1} + \frac{3 x - 7}{x - 2} = 5$ і $\frac{x - 2}{x + 2} + \frac{x + 2}{x - 2} = \frac{8}{x ^{2} - 4}$ ?

Розв’язання

Перше: $(2 x + 6) (x - 2) + (3 x - 7) (x + 1) = 5 (x + 1) (x - 2)$ , $5 x^{2} - 2 x - 19 = 5 x^{2} - 5 x - 10$ , $x = 3$ .
Друге: $(x - 2)^{2} + (x + 2)^{2} = 8$ , $2 x^{2} = 0$ , $x = 0$ .
Корені різні — не рівносильні.

Відповідь:

Ні.

Завдання 8.21

Рівносильність (ще)

Чи рівносильні $\frac{3 x - 12}{x - 3} + \frac{x + 12}{x} = 4$ і $\frac{x + 1}{x - 1} + \frac{x - 1}{x + 1} = \frac{2}{x ^{2} - 1}$ ?

Розв’язання

Перше: $x (3 x - 12) + (x + 12) (x - 3) = 4 x (x - 3)$ , $9 x = 36$ , $x = 4$ .
Друге: $(x + 1)^{2} + (x - 1)^{2} = 2$ , $x = 0$ .

Відповідь:

Ні.

Завдання 8.22

Обернений дріб (1)

Чисельник дробу на 5 менший від знаменника. Якщо до чисельника додати 14, а від знаменника відняти 1, отримаємо дріб, обернений до даного. Знайдіть дріб.

Розв’язання

$x^{2} + 14 x = x^{2} + 9 x + 20$ , $x = 4$ .
Дріб $\frac{4}{9}$ ; перевірка: $\frac{18}{8} = \frac{9}{4}$ .

Відповідь:

4/9.

Завдання 8.23

Обернений дріб (2)

Знаменник дробу на 3 більший за чисельник. Якщо до чисельника додати 8, а від знаменника відняти 1, отримаємо обернений дріб. Знайдіть дріб.

Розв’язання

$x^{2} + 8 x = x^{2} + 5 x + 6$ , $x = 2$ .
Дріб $\frac{2}{5}$ ; перевірка: $\frac{10}{4} = \frac{5}{2}$ .

Відповідь:

2/5.

Завдання 8.24

Сторонні корені (1)

1) $\frac{x ^{2} - 2}{x ^{2} + 2 x} = \frac{x - 1}{x} + \frac{x + 3}{x + 2}$ ; 2) $\frac{x ^{2} + 1}{x ^{2} - 1} = \frac{x}{x + 1} + \frac{2}{x - 1}$ .

Розв’язання

1) Множимо на $x (x + 2)$ : $x^{2} - 2 = (x - 1) (x + 2) + x (x + 3)$ , тобто $x^{2} + 4 x = 0$ : $x = 0$ (сторонній) або $x = - 4$ .
2) Множимо на $x^{2} - 1$ : $x^{2} + 1 = x (x - 1) + 2 (x + 1)$ , $x = - 1$ — сторонній. Коренів немає.

Відповідь:

1) −4; 2) коренів немає.

Завдання 8.25

Сторонні корені (2)

1) $\frac{x ^{2} - 2}{x ^{2} - x} = \frac{x + 2}{x} + \frac{x + 3}{x - 1}$ ; 2) $\frac{x ^{2} + 8}{x ^{2} - 4} = \frac{x}{x + 2} + \frac{3}{x - 2}$ .

Розв’язання

1) $x^{2} - 2 = (x + 2) (x - 1) + x (x + 3)$ , $x^{2} + 4 x = 0$ : $x = 0$ відкидаємо, $x = - 4$ .
2) $x^{2} + 8 = x (x - 2) + 3 (x + 2)$ , $x = 2$ — сторонній. Коренів немає.

Відповідь:

1) −4; 2) коренів немає.

Завдання 8.26

Рівняння з модулем (1)

1) $\frac{∣ x - 1∣ - 5}{x - 6} = 0$ ; 2) $\frac{∣ x - 1∣ - 1}{x ( x - 2 )} = 0$ .

Розв’язання

1) $∣ x - 1∣ = 5$ : $x = 6$ (знаменник 0) або $x = - 4$ . Відповідь $- 4$ .
2) $∣ x - 1∣ = 1$ : $x = 2$ або $x = 0$ — обидва обертають знаменник у нуль. Коренів немає.

Відповідь:

1) −4; 2) коренів немає.

Завдання 8.27

Рівняння з модулем (2)

1) $\frac{∣ x - 2∣ - 3}{x - 5} = 0$ ; 2) $\frac{∣ x - 2∣ - 2}{x ( x - 4 )} = 0$ .

Розв’язання

1) $x = 5$ відкидаємо, лишається $x = - 1$ .
2) $x = 4$ або $x = 0$ — обидва сторонні. Коренів немає.

Відповідь:

1) −1; 2) коренів немає.

Завдання 8.28

Параметр: коли коренів немає

Для яких $a$ рівняння не має розв’язків: 1) $\frac{x - 2 a}{x ( x - 8 )} = 0$ ; 2) $\frac{x - a + 1}{x ^{2} - 3 x} = 0$ ?

Розв’язання

1) Кандидат $x = 2 a$ ; розв’язку немає, якщо $2 a = 0$ або $2 a = 8$ : $a = 0$ або $a = 4$ .
2) Кандидат $x = a - 1$ ; заборонені $0$ і $3$ : $a = 1$ або $a = 4$ .

Відповідь:

1) a = 0 або a = 4; 2) a = 1 або a = 4.

Завдання 8.29

Параметр: лише один корінь

Для яких $a$ рівняння $\frac{( x - a ) ( x - 2 a - 1 )}{x - 3} = 0$ має лише один корінь?

Розв’язання

Корені збігаються: $a = 2 a + 1$ , $a = - 1$ (корінь $- 1$ ).
Один із кандидатів дорівнює 3: $a = 3$ (лишається корінь 7) або $2 a + 1 = 3$ , $a = 1$ (лишається корінь 1).

Відповідь:

a = −1; 1; 3.

Завдання 8.30

Медалі Лариси Латиніної

Спростіть $\frac{10 x}{x + 2} - \frac{x - 8}{3 x + 6} \cdot \frac{120}{x ^{2} - 8 x}$ і знайдіть значення при $x = 20$ .

Розв’язання

Добуток: $\frac{x - 8}{3 ( x + 2 )} \cdot \frac{120}{x ( x - 8 )} = \frac{40}{x ( x + 2 )}$ .
$\frac{10 x ^{2} - 40}{x ( x + 2 )} = \frac{10 ( x - 2 )}{x}$ ; при $x = 20$ : $9$ .
Лариса Латиніна має 9 золотих олімпійських медалей (а всього їх у неї 18).

Відповідь:

9.

Завдання 8.31

Скоротити дріб із групуванням

$\frac{4 a ^{2} - b ^{2} + 2 a - b}{4 a ^{2} + 4 ab + b ^{2} + 2 a + b}$ .

Розв’язання

Чисельник: $(2 a - b) (2 a + b) + (2 a - b) = (2 a - b) (2 a + b + 1)$ .
Знаменник: $(2 a + b)^{2} + (2 a + b) = (2 a + b) (2 a + b + 1)$ .
Отже, $\frac{2 a - b}{2 a + b}$ .

Відповідь:

$\frac{2 a - b}{2 a + b}$ .