ГДЗ · Алгебра · 8 клас

Сторінка 57

Алгебра, Істер, 2025 · № 7.10–7.18 · 9 завдань

Повні розв’язки, як у зошиті. Хочеш розібратися самостійно — під кожним завданням є «Пояснення з репетитором».

§ 7. Тотожні перетворення раціональних виразів

Завдання 7.10

Спростити вираз (числова відповідь)

1) $\frac{36}{a - 3} : (\frac{a + 3}{a - 3} - \frac{a - 3}{a + 3} + \frac{36}{a ^{2} - 9})$ ; 2) $(\frac{2 x + y}{x - 2 y} + \frac{2 x - y}{x + 2 y}) \cdot \frac{x ^{2} - 4 y ^{2}}{x ^{2} + y ^{2}}$ .

Розв’язання

1) Дужка $\frac{12 ( a + 3 )}{( a - 3 ) ( a + 3 )} = \frac{12}{a - 3}$ ; частка $3$ .
2) Чисельник дужки: $(2 x + y) (x + 2 y) + (2 x - y) (x - 2 y) = 4 x^{2} + 4 y^{2}$ ; дужка $\frac{4 ( x ^{2} + y ^{2} )}{x ^{2} - 4 y ^{2}}$ ; добуток $4$ .

Відповідь:

1) 3; 2) 4.

Завдання 7.11

Спростити вираз (числова відповідь, ще)

1) $\frac{16}{x + 2} : (\frac{x + 2}{x - 2} - \frac{16}{x ^{2} - 4} - \frac{x - 2}{x + 2})$ ; 2) $(\frac{5 a + 1}{a - 2} + \frac{5 a - 1}{a + 2}) \cdot \frac{a ^{2} - 4}{5 a ^{2} + 2}$ .

Розв’язання

1) Дужка $\frac{8 x - 16}{x ^{2} - 4} = \frac{8}{x + 2}$ ; частка $2$ .
2) Чисельник дужки $10 a^{2} + 4$ ; добуток $\frac{2 ( 5 a ^{2} + 2 )}{a ^{2} - 4} \cdot \frac{a ^{2} - 4}{5 a ^{2} + 2} = 2$ .

Відповідь:

1) 2; 2) 2.

Завдання 7.12

Довести тотожність (3)

$(\frac{a}{a - 5} - \frac{a}{a + 5} - \frac{a ^{2} + 25}{25 - a ^{2}}) \cdot \frac{a - 5}{a ^{2} + 10 a + 25} = \frac{1}{a + 5}$ .

Розв’язання

Дужка: $\frac{a ( a + 5 ) - a ( a - 5 ) + a ^{2} + 25}{a ^{2} - 25} = \frac{( a + 5 ) ^{2}}{( a - 5 ) ( a + 5 )} = \frac{a + 5}{a - 5}$ .
$\frac{a + 5}{a - 5} \cdot \frac{a - 5}{( a + 5 ) ^{2}} = \frac{1}{a + 5}$ .

Відповідь:

Доведено.

Завдання 7.13

Довести тотожність (4)

$(\frac{b}{b + 7} + \frac{b ^{2} + 49}{b ^{2} - 49} - \frac{b}{b - 7}) : \frac{b - 7}{b ^{2} + 14 b + 49} = b + 7$ .

Розв’язання

Дужка: $\frac{b ( b - 7 ) + b ^{2} + 49 - b ( b + 7 )}{b ^{2} - 49} = \frac{( b - 7 ) ^{2}}{( b - 7 ) ( b + 7 )} = \frac{b - 7}{b + 7}$ .
$\frac{b - 7}{b + 7} \cdot \frac{( b + 7 ) ^{2}}{b - 7} = b + 7$ .

Відповідь:

Доведено.

Завдання 7.14

Виконати дії (3)

1) $(\frac{1}{1 - a ^{2}} - \frac{1}{a ^{2} + 2 a + 1}) : \frac{2 a}{a ^{2} - 1}$ ; 2) $(\frac{x + 1}{2 x - 2} - \frac{x + 3}{2 x + 2} + \frac{6}{2 x ^{2} - 2}) \cdot \frac{4 x ^{2} - 4}{5}$ .

Розв’язання

1) Дужка: $\frac{- ( a + 1 ) - ( a - 1 )}{( a - 1 ) ( a + 1 ) ^{2}} = \frac{- 2 a}{( a - 1 ) ( a + 1 ) ^{2}}$ ; частка $- \frac{1}{a + 1}$ .
2) Над $2 (x - 1) (x + 1)$ : $(x + 1)^{2} - (x + 3) (x - 1) + 6 = 10$ ; дужка $\frac{5}{x ^{2} - 1}$ ; добуток $4$ .

Відповідь:

1) $- \frac{1}{a + 1}$ ; 2) $4$ .

Завдання 7.15

Виконати дії (4)

1) $(\frac{1}{4 - a ^{2}} - \frac{1}{a ^{2} - 4 a + 4}) \cdot \frac{a ^{2} - 4}{2 a}$ ; 2) $(\frac{a + 1}{3 a - 3} - \frac{a + 2}{3 a + 3} + \frac{21 - a}{3 a ^{2} - 3}) : \frac{4}{a ^{2} - 1}$ .

Розв’язання

1) Дужка: $\frac{- ( a - 2 ) - ( a + 2 )}{( a - 2 ) ^{2} ( a + 2 )} = \frac{- 2 a}{( a - 2 ) ^{2} ( a + 2 )}$ ; добуток $- \frac{1}{a - 2} = \frac{1}{2 - a}$ .
2) Чисельник: $(a + 1)^{2} - (a + 2) (a - 1) + 21 - a = 24$ ; дужка $\frac{8}{a ^{2} - 1}$ ; частка $2$ .

Відповідь:

1) $\frac{1}{2 - a}$ ; 2) $2$ .

Завдання 7.16

Довести тотожність (5)

1) $(2 - \frac{2 a ^{2} - a}{a ^{2} - a + 1}) : (\frac{1}{a + 1} - \frac{a - 1}{a ^{2} - a + 1}) = a + 1$ ; 2) $(\frac{m - 2}{m ^{2} - 2 m + 4} - \frac{6 m - 13}{m ^{3} + 8}) \cdot \frac{2 m ^{3} + 16}{18 - 6 m} = \frac{3 - m}{3}$ .

Розв’язання

1) Перша дужка $\frac{2 - a}{a ^{2} - a + 1}$ , друга $\frac{a ^{2} - a + 1 - a ^{2} + 1}{a ^{3} + 1} = \frac{2 - a}{a ^{3} + 1}$ . Частка: $\frac{2 - a}{a ^{2} - a + 1} \cdot \frac{( a + 1 ) ( a ^{2} - a + 1 )}{2 - a} = a + 1$ .
2) Дужка: $\frac{( m - 2 ) ( m + 2 ) - 6 m + 13}{m ^{3} + 8} = \frac{( m - 3 ) ^{2}}{m ^{3} + 8}$ . Добуток: $\frac{( m - 3 ) ^{2}}{m ^{3} + 8} \cdot \frac{2 ( m ^{3} + 8 )}{6 ( 3 - m )} = \frac{3 - m}{3}$ .

Відповідь:

Обидві доведено.

Завдання 7.17

Значення не залежить від змінної (1)

1) $\frac{a + 2}{16} \cdot (\frac{1}{a + 2} + \frac{3 a - 8}{a ^{2} - 2 a + 4} - \frac{4 a - 28}{a ^{3} + 8})$ ; 2) $(\frac{1}{a + 1} - \frac{3}{a ^{3} + 1} + \frac{3}{a ^{2} - a + 1}) (a - \frac{2 a - 1}{a + 1})$ .

Розв’язання

1) Чисельник дужки: $(a^{2} - 2 a + 4) + (3 a - 8) (a + 2) - (4 a - 28) = 4 (a^{2} - 2 a + 4)$ , дужка $\frac{4}{a + 2}$ ; добуток $\frac{1}{4}$ .
2) Перша дужка: $\frac{a ^{2} - a + 1 - 3 + 3 a + 3}{a ^{3} + 1} = \frac{( a + 1 ) ^{2}}{a ^{3} + 1} = \frac{a + 1}{a ^{2} - a + 1}$ ; друга: $\frac{a ^{2} - a + 1}{a + 1}$ . Добуток $1$ .

Відповідь:

1) Завжди $\frac{1}{4}$ ; 2) завжди $1$ .

Завдання 7.18

Значення не залежить від змінної (2)

$\frac{b - 2}{15} \cdot (\frac{1}{b - 2} + \frac{9 b + 6}{b ^{3} - 8} - \frac{1 - 2 b}{b ^{2} + 2 b + 4})$ .

Розв’язання

Чисельник дужки: $(b^{2} + 2 b + 4) + 9 b + 6 - (1 - 2 b) (b - 2) = 3 b^{2} + 6 b + 12$ .
Дужка $\frac{3}{b - 2}$ , добуток $\frac{1}{5}$ .

Відповідь:

Завжди $\frac{1}{5}$ .