ГДЗ · Алгебра · 8 клас

Сторінка 56

Алгебра, Істер, 2025 · № 7.2–7.9 · 8 завдань

Повні розв’язки, як у зошиті. Хочеш розібратися самостійно — під кожним завданням є «Пояснення з репетитором».

§ 7. Тотожні перетворення раціональних виразів

Завдання 7.2

Кілька дій (2)

1) $\frac{10 x + y}{5 x} - \frac{3 y ^{2}}{x ^{2}} \cdot \frac{x}{15 y}$ ; 2) $\frac{a ^{2} - 4}{9 - b ^{2}} : \frac{a - 2}{3 + b} - \frac{2}{3 - b}$ ; 3) $\frac{x + y}{3 x - y} + \frac{1}{x + y} \cdot \frac{x ^{2} - y ^{2}}{3 x - y}$ ; 4) $m + \frac{m ^{2} + mn}{n - m} \cdot \frac{m}{m + n}$ .

Розв’язання

1) $\frac{y}{5 x}$ , тоді $\frac{10 x}{5 x} = 2$ .
2) Частка $\frac{a + 2}{3 - b}$ , різниця $\frac{a}{3 - b}$ .
3) Добуток $\frac{x - y}{3 x - y}$ , сума $\frac{2 x}{3 x - y}$ .
4) Добуток $\frac{m ^{2}}{n - m}$ , сума $\frac{mn - m ^{2} + m ^{2}}{n - m} = \frac{mn}{n - m}$ .

Відповідь:

1) $2$ ; 2) $\frac{a}{3 - b}$ ; 3) $\frac{2 x}{3 x - y}$ ; 4) $\frac{mn}{n - m}$ .

Завдання 7.3

Запливи Олега Іваненка

Знайдіть значення $\frac{2 b}{m} + \frac{a ^{2} - b ^{2}}{5 m ^{2}} \cdot \frac{10 m}{a + b}$ при $a = 4, 5$ , $b = - 2025$ , $m = 0, 5$ .

Розв’язання

$\frac{( a - b ) ( a + b )}{5 m ^{2}} \cdot \frac{10 m}{a + b} = \frac{2 ( a - b )}{m}$ .
$\frac{2 b + 2 a - 2 b}{m} = \frac{2 a}{m} = \frac{9}{0 , 5} = 18$ .
Олег Іваненко перетнув Ла-Манш за 18 годин.

Відповідь:

18 годин.

Завдання 7.4

Дужки і множення (1)

1) $(\frac{x}{7} + \frac{7}{x} + 2) \cdot \frac{1}{x + 7}$ ; 2) $(1 + \frac{m}{3 n}) : (1 - \frac{m}{3 n})$ ; 3) $(\frac{a}{a + 2} - 3 a) \cdot \frac{a + 2}{a}$ ; 4) $(2 + \frac{x}{x + 1}) : \frac{9 x + 6}{5 x ^{2} + 5 x}$ .

Розв’язання

1) $\frac{x ^{2} + 14 x + 49}{7 x} \cdot \frac{1}{x + 7} = \frac{x + 7}{7 x}$ .
2) $\frac{3 n + m}{3 n} : \frac{3 n - m}{3 n} = \frac{3 n + m}{3 n - m}$ .
3) $\frac{a - 3 a ^{2} - 6 a}{a + 2} \cdot \frac{a + 2}{a} = - 3 a - 5$ .
4) $\frac{3 x + 2}{x + 1} \cdot \frac{5 x ( x + 1 )}{3 ( 3 x + 2 )} = \frac{5 x}{3}$ .

Відповідь:

1) $\frac{x + 7}{7 x}$ ; 2) $\frac{3 n + m}{3 n - m}$ ; 3) $- 3 a - 5$ ; 4) $\frac{5 x}{3}$ .

Завдання 7.5

Дужки і множення (2)

1) $(\frac{m}{5} + \frac{5}{m} - 2) \cdot \frac{1}{m - 5}$ ; 2) $(1 - \frac{x}{y}) : (1 + \frac{x}{y})$ ; 3) $(\frac{b}{b - 3} - 2 b) \cdot \frac{b - 3}{b}$ ; 4) $(3 - \frac{m}{m + 2}) : \frac{4 m + 12}{m ^{2} + 2 m}$ .

Розв’язання

1) $\frac{( m - 5 ) ^{2}}{5 m} \cdot \frac{1}{m - 5} = \frac{m - 5}{5 m}$ .
2) $\frac{y - x}{y} : \frac{y + x}{y} = \frac{y - x}{y + x}$ .
3) $\frac{b - 2 b ^{2} + 6 b}{b - 3} \cdot \frac{b - 3}{b} = 7 - 2 b$ .
4) $\frac{2 m + 6}{m + 2} \cdot \frac{m ( m + 2 )}{4 ( m + 3 )} = \frac{m}{2}$ .

Відповідь:

1) $\frac{m - 5}{5 m}$ ; 2) $\frac{y - x}{y + x}$ ; 3) $7 - 2 b$ ; 4) $\frac{m}{2}$ .

Завдання 7.6

Довести тотожність (1)

1) $(1 - \frac{2 a}{b} + \frac{a ^{2}}{b ^{2}}) \cdot \frac{b}{a - b} = \frac{a - b}{b}$ ; 2) $(\frac{m}{n ^{2}} - \frac{1}{m}) : (\frac{1}{n} - \frac{1}{m}) = \frac{m + n}{n}$ .

Розв’язання

1) $\frac{( a - b ) ^{2}}{b ^{2}} \cdot \frac{b}{a - b} = \frac{a - b}{b}$ .
2) $\frac{m ^{2} - n ^{2}}{m n ^{2}} : \frac{m - n}{mn} = \frac{( m - n ) ( m + n )}{m n ^{2}} \cdot \frac{mn}{m - n} = \frac{m + n}{n}$ .

Відповідь:

Обидві тотожності доведено.

Завдання 7.7

Довести тотожність (2)

1) $(1 + \frac{2 x}{y} + \frac{x ^{2}}{y ^{2}}) \cdot \frac{y}{x + y} = \frac{x + y}{y}$ ; 2) $(\frac{2 m}{n ^{2}} - \frac{1}{2 m}) : (\frac{1}{n} + \frac{1}{2 m}) = \frac{2 m - n}{n}$ .

Розв’язання

1) $\frac{( x + y ) ^{2}}{y ^{2}} \cdot \frac{y}{x + y} = \frac{x + y}{y}$ .
2) $\frac{4 m ^{2} - n ^{2}}{2 m n ^{2}} \cdot \frac{2 mn}{2 m + n} = \frac{2 m - n}{n}$ .

Відповідь:

Доведено.

Завдання 7.8

Різниця квадратів у дужках

1) $(\frac{x - 2}{x + 2} - \frac{x + 2}{x - 2}) \cdot \frac{x ^{2} - 4}{4 x}$ ; 2) $(\frac{a + 3}{a - 3} - \frac{a - 3}{a + 3}) : \frac{24 a}{a ^{2} - 6 a + 9}$ .

Розв’язання

1) $\frac{- 8 x}{x ^{2} - 4} \cdot \frac{x ^{2} - 4}{4 x} = - 2$ .
2) Дужка $\frac{12 a}{( a - 3 ) ( a + 3 )}$ ; $\frac{12 a}{( a - 3 ) ( a + 3 )} \cdot \frac{( a - 3 ) ^{2}}{24 a} = \frac{a - 3}{2 ( a + 3 )}$ .

Відповідь:

1) $- 2$ ; 2) $\frac{a - 3}{2 ( a + 3 )}$ .

Завдання 7.9

Сума й різниця квадратів у дужках

1) $\frac{8 m}{m ^{2} - 1} : (\frac{m + 1}{m - 1} - \frac{m - 1}{m + 1})$ ; 2) $(\frac{a - 2}{a + 2} + \frac{a + 2}{a - 2}) \cdot \frac{a ^{2} - 4 a + 4}{2 a ^{2} + 8}$ .

Розв’язання

1) Дужка $\frac{4 m}{m ^{2} - 1}$ ; частка $2$ .
2) Дужка $\frac{2 a ^{2} + 8}{a ^{2} - 4}$ ; добуток $\frac{2 a ^{2} + 8}{( a - 2 ) ( a + 2 )} \cdot \frac{( a - 2 ) ^{2}}{2 a ^{2} + 8} = \frac{a - 2}{a + 2}$ .

Відповідь:

1) $2$ ; 2) $\frac{a - 2}{a + 2}$ .