Сторінка 29

Розв’язання

1. $2x=70$, $x=35^{\circ }$; другий $55^{\circ }$.

Розв’язання

1. Діагоналі прямокутника рівні й діляться навпіл, тому OA = OB = OC = OD.

2. Отже, коло з центром O і радіусом OA проходить через усі чотири вершини.

Розв’язання

1. 1) $\alpha =180^{\circ }-2\alpha -15^{\circ }$, $3\alpha =165^{\circ }$, $\alpha =55^{\circ }$.

2. 2) Проти більшої сторони — $2\alpha$: $\alpha =2\alpha -50^{\circ }$, $\alpha =50^{\circ }$.

Розв’язання

1. 1) $\beta =180^{\circ }-2\beta -90^{\circ }$, $3\beta =90^{\circ }$, $\beta =30^{\circ }$.

2. 2) $\beta =2\beta -40^{\circ }$, $\beta =40^{\circ }$.

Розв’язання

1. $△AOB$ рівнобедрений: $\angle OBA=70^{\circ }$, $\angle AOB=40^{\circ }$.

2. OE — медіана, а отже, бісектриса: $\angle AOE=20^{\circ }$.

3. $\angle AOD=180^{\circ }-40^{\circ }=140^{\circ }$.

4. $\angle DOE=140^{\circ }+20^{\circ }=160^{\circ }$.

Розв’язання

1. Нехай $\angle AOB=x$. Тоді $\angle DOA=180^{\circ }-x$ і $\angle DOP=180^{\circ }-x+\frac{x}{2}=180^{\circ }-\frac{x}{2}$.

2. $180^{\circ }-\frac{x}{2}=130^{\circ }$, $x=100^{\circ }$.

3. $\angle CAB=\frac{180^{\circ }-100^{\circ }}{2}=40^{\circ }$.

Розв’язання

1. OB = OD (діагоналі паралелограма діляться навпіл), тому OM = OB = OD = ON.

2. У BMDN діагоналі MN і BD перетинаються в O й діляться навпіл — це паралелограм.

3. MN = 2·OB = BD — діагоналі рівні. Отже, BMDN — прямокутник.

Розв’язання

1. У $△ADC$: $OA=OD=OC$, тож $\angle OAD=\angle ODA$, $\angle OCD=\angle ODC$. З суми кутів: $2(\angle ODA+\angle ODC)=180^{\circ }$, тобто $\angle ADC=90^{\circ }$. Так само $\angle ABC=90^{\circ }$.

2. Прямокутні △ADC і △CBA рівні за гіпотенузою AC і катетом AD = CB. Тому DC = BA.

3. Протилежні сторони попарно рівні — ABCD паралелограм, і в нього кут D прямий. Отже, прямокутник.

Розв’язання

1. Відстань від O до однієї сторони — половина сусідньої: сторони 2·4 = 8 см і 2·9 = 18 см.

2. $P=2(8+18)=52$ см.

Розв’язання

1. Бісектриса кута A перетинає BC у середині M; △ABM рівнобедрений: AB = BM.

2. $BM=20:2=10$ см, тому $AB=10$ см.

3. $P=2(10+20)=60$ см.

Розв’язання

1. Половина більшої сторони дорівнює меншій: більша = 16 дм.

2. $P=2(8+16)=48$ дм.

Розв’язання

1. ∠BAO = 60° і AO = BO, тому △AOB рівносторонній: AB = AO = BO.

2. BK — його висота, а отже, медіана: AK = KO = AO/2.

3. 1) $AO=2a$, $DB=AC=4a$, $AB=2a$.

4. 2) $AO=\frac{m}{2}$, $AK=\frac{m}{4}$, $CD=AB=\frac{m}{2}$.

Розв’язання

1. AO = BO = AB = b, тому BD = 2b.

2. K — середина AO: $OK=\frac{b}{2}$.

Розв’язання

1. У $△BKN$: $\angle B=45^{\circ }$, $\angle K=90^{\circ }$, тому $BK=KN$. Так само $LC=LM=KN$.

2. $BC=KN+KL+KN$. Нехай $KL=3x$, $KN=2x$: $7x=35$, $x=5$.

3. $KL=15$ см, $KN=10$ см, $P=2(15+10)=50$ см.