ГДЗ · Алгебра · 8 клас

Сторінка 35

Алгебра, Істер, 2025 · № 4.8–4.16 · 9 завдань

Повні розв’язки, як у зошиті. Хочеш розібратися самостійно — під кожним завданням є «Пояснення з репетитором».

§ 4. Додавання і віднімання дробів з різними знаменниками

Завдання 4.8

Знаменники-степені

1) $\frac{1}{a ^{2}} + \frac{a - 2}{a}$ ; 2) $\frac{2 + m}{m ^{2}} - \frac{m ^{2} - 5}{m ^{3}}$ ; 3) $\frac{1}{2 x ^{5}} + \frac{1 - 3 x ^{2}}{x ^{7}}$ ; 4) $\frac{a - b}{ab} - \frac{b - a}{b ^{2}}$ ; 5) $\frac{3 n + m}{m n ^{2}} + \frac{n - 3 m}{m ^{2} n}$ ; 6) $\frac{x - 2 y}{x y ^{2}} - \frac{y - 2 x}{x ^{2} y}$ .

Розв’язання

1) $\frac{1 + a ^{2} - 2 a}{a ^{2}} = \frac{( a - 1 ) ^{2}}{a ^{2}}$ .
2) $\frac{2 m + m ^{2} - m ^{2} + 5}{m ^{3}} = \frac{2 m + 5}{m ^{3}}$ .
3) $\frac{x ^{2} + 2 - 6 x ^{2}}{2 x ^{7}} = \frac{2 - 5 x ^{2}}{2 x ^{7}}$ .
4) $\frac{b ( a - b ) - a ( b - a )}{a b ^{2}} = \frac{a ^{2} - b ^{2}}{a b ^{2}}$ .
5) $\frac{m ( 3 n + m ) + n ( n - 3 m )}{m ^{2} n ^{2}} = \frac{m ^{2} + n ^{2}}{m ^{2} n ^{2}}$ .
6) $\frac{x ( x - 2 y ) - y ( y - 2 x )}{x ^{2} y ^{2}} = \frac{x ^{2} - y ^{2}}{x ^{2} y ^{2}}$ .

Відповідь:

1) $\frac{( a - 1 ) ^{2}}{a ^{2}}$ ; 2) $\frac{2 m + 5}{m ^{3}}$ ; 3) $\frac{2 - 5 x ^{2}}{2 x ^{7}}$ ; 4) $\frac{a ^{2} - b ^{2}}{a b ^{2}}$ ; 5) $\frac{m ^{2} + n ^{2}}{m ^{2} n ^{2}}$ ; 6) $\frac{x ^{2} - y ^{2}}{x ^{2} y ^{2}}$ .

Завдання 4.9

Знаменники-степені (ще)

1) $\frac{m + 2}{m ^{2}} - \frac{1}{m}$ ; 2) $\frac{5}{n ^{5}} + \frac{3 - 4 n ^{2}}{n ^{7}}$ ; 3) $\frac{x - y}{x ^{2}} - \frac{y - x}{x y}$ ; 4) $\frac{c - 2 p}{c p ^{2}} + \frac{2 c - p}{p c ^{2}}$ .

Розв’язання

1) $\frac{m + 2 - m}{m ^{2}} = \frac{2}{m ^{2}}$ ; 2) $\frac{5 n ^{2} + 3 - 4 n ^{2}}{n ^{7}} = \frac{n ^{2} + 3}{n ^{7}}$ .
3) $\frac{y ( x - y ) - x ( y - x )}{x ^{2} y} = \frac{x ^{2} - y ^{2}}{x ^{2} y}$ .
4) $\frac{c ( c - 2 p ) + p ( 2 c - p )}{c ^{2} p ^{2}} = \frac{c ^{2} - p ^{2}}{c ^{2} p ^{2}}$ .

Відповідь:

1) $\frac{2}{m ^{2}}$ ; 2) $\frac{n ^{2} + 3}{n ^{7}}$ ; 3) $\frac{x ^{2} - y ^{2}}{x ^{2} y}$ ; 4) $\frac{c ^{2} - p ^{2}}{c ^{2} p ^{2}}$ .

Завдання 4.10

Три дроби

1) $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}$ ; 2) $\frac{1}{c ^{3}} - \frac{2}{c ^{2}} + \frac{3}{c}$ ; 3) $\frac{1}{x y} - \frac{1}{y z} + \frac{1}{x z}$ ; 4) $\frac{a + b}{ab} - \frac{b + c}{b c} + \frac{a + c}{a c}$ .

Розв’язання

1) $\frac{b c + a c + ab}{ab c}$ ; 2) $\frac{1 - 2 c + 3 c ^{2}}{c ^{3}}$ .
3) $\frac{z - x + y}{x y z}$ .
4) $\frac{c ( a + b ) - a ( b + c ) + b ( a + c )}{ab c} = \frac{2 b c}{ab c} = \frac{2}{a}$ .

Відповідь:

1) $\frac{ab + b c + a c}{ab c}$ ; 2) $\frac{3 c ^{2} - 2 c + 1}{c ^{3}}$ ; 3) $\frac{y + z - x}{x y z}$ ; 4) $\frac{2}{a}$ .

Завдання 4.11

Три дроби (ще)

1) $\frac{1}{p} - \frac{1}{m} + \frac{1}{n}$ ; 2) $\frac{2}{x} + \frac{3}{x ^{2}} - \frac{4}{x ^{3}}$ ; 3) $\frac{1}{ab} + \frac{1}{b c} + \frac{1}{c a}$ ; 4) $\frac{x - y}{x y} + \frac{y - z}{y z} + \frac{x + z}{x z}$ .

Розв’язання

1) $\frac{mn - p n + p m}{p mn}$ ; 2) $\frac{2 x ^{2} + 3 x - 4}{x ^{3}}$ .
3) $\frac{a + b + c}{ab c}$ .
4) $\frac{z ( x - y ) + x ( y - z ) + y ( x + z )}{x y z} = \frac{2 x y}{x y z} = \frac{2}{z}$ .

Відповідь:

1) $\frac{mn + m p - n p}{mn p}$ ; 2) $\frac{2 x ^{2} + 3 x - 4}{x ^{3}}$ ; 3) $\frac{a + b + c}{ab c}$ ; 4) $\frac{2}{z}$ .

Завдання 4.12

Довести тотожність

Доведіть: $\frac{3 x + 1}{7 x} - \frac{y - 1}{2 y} - \frac{7 x + y}{14 x y} = \frac{1 - x}{14 x}$ .

Розв’язання

Чисельник: $2 y (3 x + 1) - 7 x (y - 1) - (7 x + y)$ .
$= 6 x y + 2 y - 7 x y + 7 x - 7 x - y = y - x y = y (1 - x)$ .
$\frac{y ( 1 - x )}{14 x y} = \frac{1 - x}{14 x}$ .

Відповідь:

Тотожність доведено.

Завдання 4.13

Довести тотожність (ще)

Доведіть: $\frac{3 m + 2}{5 m} - \frac{n - 1}{2 n} - \frac{5 m + 3 n}{10 mn} = \frac{m + 1}{10 m}$ .

Розв’язання

Чисельник: $2 n (3 m + 2) - 5 m (n - 1) - (5 m + 3 n)$ .
$= 6 mn + 4 n - 5 mn + 5 m - 5 m - 3 n = mn + n = n (m + 1)$ .
$\frac{n ( m + 1 )}{10 mn} = \frac{m + 1}{10 m}$ .

Відповідь:

Тотожність доведено.

Завдання 4.14

Цілий вираз і дріб

1) $x + \frac{2}{y}$ ; 2) $3 m - \frac{1}{m}$ ; 3) $\frac{4}{p} - p^{2}$ ; 4) $\frac{a ^{2} + y}{a} - a$ ; 5) $2 x - \frac{6 x ^{2} + 1}{3 x}$ ; 6) $m + \frac{2 - 4 mn}{4 n}$ .

Розв’язання

1) $\frac{x y + 2}{y}$ ; 2) $\frac{3 m ^{2} - 1}{m}$ ; 3) $\frac{4 - p ^{3}}{p}$ .
4) $\frac{a ^{2} + y - a ^{2}}{a} = \frac{y}{a}$ .
5) $\frac{6 x ^{2} - 6 x ^{2} - 1}{3 x} = - \frac{1}{3 x}$ .
6) $\frac{4 mn + 2 - 4 mn}{4 n} = \frac{1}{2 n}$ .

Відповідь:

1) $\frac{x y + 2}{y}$ ; 2) $\frac{3 m ^{2} - 1}{m}$ ; 3) $\frac{4 - p ^{3}}{p}$ ; 4) $\frac{y}{a}$ ; 5) $- \frac{1}{3 x}$ ; 6) $\frac{1}{2 n}$ .

Завдання 4.15

Цілий вираз і дріб (ще)

1) $m - \frac{3}{n}$ ; 2) $4 p + \frac{1}{p}$ ; 3) $\frac{x + y ^{2}}{y} - y$ ; 4) $7 p - \frac{14 p ^{2} + 3}{2 p}$ .

Розв’язання

1) $\frac{mn - 3}{n}$ ; 2) $\frac{4 p ^{2} + 1}{p}$ .
3) $\frac{x + y ^{2} - y ^{2}}{y} = \frac{x}{y}$ ; 4) $\frac{14 p ^{2} - 14 p ^{2} - 3}{2 p} = - \frac{3}{2 p}$ .

Відповідь:

1) $\frac{mn - 3}{n}$ ; 2) $\frac{4 p ^{2} + 1}{p}$ ; 3) $\frac{x}{y}$ ; 4) $- \frac{3}{2 p}$ .

Завдання 4.16

Спростити вираз

1) $1 - \frac{m}{2} - \frac{n}{3}$ ; 2) $4 + \frac{1}{a} - \frac{1}{b}$ ; 3) $\frac{m - 2}{3} - 1 + \frac{m + 2}{4}$ ; 4) $\frac{1}{a + b} + a - b$ .

Розв’язання

1) $\frac{6 - 3 m - 2 n}{6}$ ; 2) $\frac{4 ab + b - a}{ab}$ .
3) $\frac{4 ( m - 2 ) - 12 + 3 ( m + 2 )}{12} = \frac{7 m - 14}{12}$ .
4) $\frac{1 + a ^{2} - b ^{2}}{a + b}$ .

Відповідь:

1) $\frac{6 - 3 m - 2 n}{6}$ ; 2) $\frac{4 ab + b - a}{ab}$ ; 3) $\frac{7 m - 14}{12}$ ; 4) $\frac{1 + a ^{2} - b ^{2}}{a + b}$ .