ГДЗ · Алгебра · 8 клас

Сторінка 36

Алгебра, Істер, 2025 · № 4.17–4.23 · 7 завдань

Повні розв’язки, як у зошиті. Хочеш розібратися самостійно — під кожним завданням є «Пояснення з репетитором».

§ 4. Додавання і віднімання дробів з різними знаменниками

Завдання 4.17

Виконати дії

1) $\frac{m}{3} + \frac{n}{4} - 1$ ; 2) $5 - \frac{1}{c} + \frac{1}{d}$ ; 3) $\frac{a + 3}{5} - 1 + \frac{a - 2}{2}$ ; 4) $\frac{1}{x - y} + x + y$ .

Розв’язання

1) $\frac{4 m + 3 n - 12}{12}$ ; 2) $\frac{5 c d - d + c}{c d}$ .
3) $\frac{2 ( a + 3 ) - 10 + 5 ( a - 2 )}{10} = \frac{7 a - 14}{10}$ .
4) $\frac{1 + x ^{2} - y ^{2}}{x - y}$ .

Відповідь:

1) $\frac{4 m + 3 n - 12}{12}$ ; 2) $\frac{5 c d + c - d}{c d}$ ; 3) $\frac{7 a - 14}{10}$ ; 4) $\frac{1 + x ^{2} - y ^{2}}{x - y}$ .

Завдання 4.18

Сума і різниця дробів

Знайдіть суму та різницю дробів: 1) $\frac{1}{x - y}$ і $\frac{1}{x + y}$ ; 2) $\frac{1}{a + b}$ і $\frac{1}{a}$ .

Розв’язання

1) Сума: $\frac{x + y + x - y}{x ^{2} - y ^{2}} = \frac{2 x}{x ^{2} - y ^{2}}$ ; різниця: $\frac{x + y - x + y}{x ^{2} - y ^{2}} = \frac{2 y}{x ^{2} - y ^{2}}$ .
2) Сума: $\frac{a + a + b}{a ( a + b )} = \frac{2 a + b}{a ( a + b )}$ ; різниця: $\frac{a - a - b}{a ( a + b )} = - \frac{b}{a ( a + b )}$ .

Відповідь:

1) $\frac{2 x}{x ^{2} - y ^{2}}$ і $\frac{2 y}{x ^{2} - y ^{2}}$ ; 2) $\frac{2 a + b}{a ( a + b )}$ і $- \frac{b}{a ( a + b )}$ .

Завдання 4.19

Сума і різниця дробів (ще)

1) $\frac{1}{2 a + b}$ і $\frac{1}{2 a - b}$ ; 2) $\frac{1}{m - n}$ і $\frac{1}{m}$ .

Розв’язання

1) Сума: $\frac{4 a}{4 a ^{2} - b ^{2}}$ ; різниця: $\frac{2 a - b - 2 a - b}{4 a ^{2} - b ^{2}} = - \frac{2 b}{4 a ^{2} - b ^{2}}$ .
2) Сума: $\frac{2 m - n}{m ( m - n )}$ ; різниця: $\frac{m - m + n}{m ( m - n )} = \frac{n}{m ( m - n )}$ .

Відповідь:

1) $\frac{4 a}{4 a ^{2} - b ^{2}}$ і $- \frac{2 b}{4 a ^{2} - b ^{2}}$ ; 2) $\frac{2 m - n}{m ( m - n )}$ і $\frac{n}{m ( m - n )}$ .

Завдання 4.20

Знаменники-двочлени

1) $\frac{2}{a} + \frac{3}{a - 1}$ ; 2) $\frac{c}{a - c} - \frac{c}{a}$ ; 3) $\frac{3}{x + y} + \frac{2}{x - y}$ ; 4) $\frac{x}{x - 1} + \frac{2}{x - 2}$ ; 5) $\frac{a + 1}{a} - \frac{a}{a - 1}$ ; 6) $\frac{a}{2 a - 1} - \frac{a}{2 a + 1}$ .

Розв’язання

1) $\frac{2 ( a - 1 ) + 3 a}{a ( a - 1 )} = \frac{5 a - 2}{a ( a - 1 )}$ .
2) $\frac{a c - c ( a - c )}{a ( a - c )} = \frac{c ^{2}}{a ( a - c )}$ .
3) $\frac{3 ( x - y ) + 2 ( x + y )}{x ^{2} - y ^{2}} = \frac{5 x - y}{x ^{2} - y ^{2}}$ .
4) $\frac{x ( x - 2 ) + 2 ( x - 1 )}{( x - 1 ) ( x - 2 )} = \frac{x ^{2} - 2}{( x - 1 ) ( x - 2 )}$ .
5) $\frac{( a + 1 ) ( a - 1 ) - a ^{2}}{a ( a - 1 )} = - \frac{1}{a ( a - 1 )}$ .
6) $\frac{a ( 2 a + 1 ) - a ( 2 a - 1 )}{4 a ^{2} - 1} = \frac{2 a}{4 a ^{2} - 1}$ .

Відповідь:

1) $\frac{5 a - 2}{a ( a - 1 )}$ ; 2) $\frac{c ^{2}}{a ( a - c )}$ ; 3) $\frac{5 x - y}{x ^{2} - y ^{2}}$ ; 4) $\frac{x ^{2} - 2}{( x - 1 ) ( x - 2 )}$ ; 5) $- \frac{1}{a ( a - 1 )}$ ; 6) $\frac{2 a}{4 a ^{2} - 1}$ .

Завдання 4.21

Знаменники-двочлени (ще)

1) $\frac{4}{b} + \frac{7}{b + 2}$ ; 2) $\frac{3}{m - n} - \frac{2}{m + n}$ ; 3) $\frac{p}{p - 2} - \frac{3}{p + 3}$ ; 4) $\frac{x}{1 - x} + \frac{1 + x}{x}$ .

Розв’язання

1) $\frac{4 ( b + 2 ) + 7 b}{b ( b + 2 )} = \frac{11 b + 8}{b ( b + 2 )}$ .
2) $\frac{3 ( m + n ) - 2 ( m - n )}{m ^{2} - n ^{2}} = \frac{m + 5 n}{m ^{2} - n ^{2}}$ .
3) $\frac{p ( p + 3 ) - 3 ( p - 2 )}{( p - 2 ) ( p + 3 )} = \frac{p ^{2} + 6}{( p - 2 ) ( p + 3 )}$ .
4) $\frac{x ^{2} + ( 1 + x ) ( 1 - x )}{x ( 1 - x )} = \frac{1}{x ( 1 - x )}$ .

Відповідь:

1) $\frac{11 b + 8}{b ( b + 2 )}$ ; 2) $\frac{m + 5 n}{m ^{2} - n ^{2}}$ ; 3) $\frac{p ^{2} + 6}{( p - 2 ) ( p + 3 )}$ ; 4) $\frac{1}{x ( 1 - x )}$ .

Завдання 4.22

Розкласти знаменники

1) $\frac{a - 2}{2 ( a + 1 )} + \frac{a}{a + 1}$ ; 2) $\frac{m}{4 ( a + b )} - \frac{3 m}{5 ( a + b )}$ ; 3) $\frac{a - 2}{2 a + 6} - \frac{a + 1}{3 a + 9}$ ; 4) $\frac{4}{a x - a y} + \frac{5}{b x - b y}$ ; 5) $\frac{5}{x} - \frac{30}{x ( x + 6 )}$ ; 6) $\frac{6}{x ^{2} + 3 x} - \frac{2}{x}$ .

Розв’язання

1) $\frac{a - 2 + 2 a}{2 ( a + 1 )} = \frac{3 a - 2}{2 ( a + 1 )}$ .
2) $\frac{5 m - 12 m}{20 ( a + b )} = - \frac{7 m}{20 ( a + b )}$ .
3) $\frac{a - 2}{2 ( a + 3 )} - \frac{a + 1}{3 ( a + 3 )} = \frac{3 a - 6 - 2 a - 2}{6 ( a + 3 )} = \frac{a - 8}{6 ( a + 3 )}$ .
4) $\frac{4}{a ( x - y )} + \frac{5}{b ( x - y )} = \frac{4 b + 5 a}{ab ( x - y )}$ .
5) $\frac{5 ( x + 6 ) - 30}{x ( x + 6 )} = \frac{5 x}{x ( x + 6 )} = \frac{5}{x + 6}$ .
6) $\frac{6 - 2 ( x + 3 )}{x ( x + 3 )} = \frac{- 2 x}{x ( x + 3 )} = - \frac{2}{x + 3}$ .

Відповідь:

1) $\frac{3 a - 2}{2 ( a + 1 )}$ ; 2) $- \frac{7 m}{20 ( a + b )}$ ; 3) $\frac{a - 8}{6 ( a + 3 )}$ ; 4) $\frac{5 a + 4 b}{ab ( x - y )}$ ; 5) $\frac{5}{x + 6}$ ; 6) $- \frac{2}{x + 3}$ .

Завдання 4.23

Розкласти знаменники (ще)

1) $\frac{m - 1}{3 ( m + 2 )} + \frac{m}{m + 2}$ ; 2) $\frac{7 a}{3 ( b + 2 a )} - \frac{4 a}{9 ( b + 2 a )}$ ; 3) $\frac{x - 2}{3 x - 12} - \frac{x + 1}{2 x - 8}$ ; 4) $\frac{3}{m x + m y} + \frac{2}{n x + n y}$ ; 5) $\frac{4}{a} - \frac{8}{a ( a + 2 )}$ ; 6) $\frac{8}{m ^{2} + 8 m} - \frac{1}{m}$ .

Розв’язання

1) $\frac{m - 1 + 3 m}{3 ( m + 2 )} = \frac{4 m - 1}{3 ( m + 2 )}$ .
2) $\frac{21 a - 4 a}{9 ( b + 2 a )} = \frac{17 a}{9 ( b + 2 a )}$ .
3) $\frac{2 ( x - 2 ) - 3 ( x + 1 )}{6 ( x - 4 )} = \frac{- x - 7}{6 ( x - 4 )}$ .
4) $\frac{3 n + 2 m}{mn ( x + y )}$ .
5) $\frac{4 ( a + 2 ) - 8}{a ( a + 2 )} = \frac{4}{a + 2}$ .
6) $\frac{8 - ( m + 8 )}{m ( m + 8 )} = - \frac{1}{m + 8}$ .

Відповідь:

1) $\frac{4 m - 1}{3 ( m + 2 )}$ ; 2) $\frac{17 a}{9 ( b + 2 a )}$ ; 3) $- \frac{x + 7}{6 ( x - 4 )}$ ; 4) $\frac{2 m + 3 n}{mn ( x + y )}$ ; 5) $\frac{4}{a + 2}$ ; 6) $- \frac{1}{m + 8}$ .