ГДЗ · Алгебра · 9 клас

Сторінка 56

Алгебра, Істер О. С., Істер Д. О., 2026 · № 7.10–7.19 · 10 завдань

Повні розв’язки, як у зошиті. Хочеш розібратися самостійно — під кожним завданням є «Пояснення з репетитором».

§ 7. Системи лінійних нерівностей

Завдання 7.10

Системи і приклади розв’язків

Розв’яжіть і вкажіть два розв’язки: 1) $x + 4 > 3 x$ , $1, 4 - 0, 2 x > 0, 5 x$ ; 2) $6 x - 1 < 7 x + 2$ , $x + 1, 8 > 2$ ; 3) $1, 5 x - 1 > 6, 5 x - 2$ , $x + 6 > 2 - 3 x$ ; 4) $3 (x + 2) < 4 x$ , $x - 2, 7 > 3, 3$ .

Розв’язання

1) $x < 2$ і $x < 2$ : $x < 2$ (напр. 0; 1).
2) $x > - 3$ і $x > 0, 2$ : $x > 0, 2$ (напр. 1; 5).
3) $x < 0, 2$ і $x > - 1$ : $(- 1; 0, 2)$ (напр. 0; −0,5).
4) $x > 6$ і $x > 6$ : $x > 6$ (напр. 7; 10).

Відповідь:

1) $(- \infty; 2)$ ; 2) $(0, 2; + \infty)$ ; 3) $(- 1; 0, 2)$ ; 4) $(6; + \infty)$ .

Завдання 7.11

Подвійні нерівності

Розв’яжіть: 1) $3 < 3 x ⩽ 9$ ; 2) $- 1 ⩽ \frac{x}{2} ⩽ 4$ ; 3) $0 ⩽ x - 1 ⩽ 5$ ; 4) $11 < x + 7 < 13$ .

Розв’язання

1) $1 < x ⩽ 3$ .
2) $- 2 ⩽ x ⩽ 8$ .
3) $1 ⩽ x ⩽ 6$ .
4) $4 < x < 6$ .

Відповідь:

1) $(1; 3]$ ; 2) $[- 2; 8]$ ; 3) $[1; 6]$ ; 4) $(4; 6)$ .

Завдання 7.12

Подвійні нерівності

Розв’яжіть: 1) $2 ⩽ 2 x < 10$ ; 2) $- 2 < \frac{x}{5} ⩽ 1$ ; 3) $10 < x - 5 < 12$ ; 4) $7 ⩽ x + 1 ⩽ 8$ .

Розв’язання

1) $1 ⩽ x < 5$ .
2) $- 10 < x ⩽ 5$ .
3) $15 < x < 17$ .
4) $6 ⩽ x ⩽ 7$ .

Відповідь:

1) $[1; 5)$ ; 2) $(- 10; 5]$ ; 3) $(15; 17)$ ; 4) $[6; 7]$ .

Завдання 7.13

Цілі розв’язки подвійної нерівності

Знайдіть цілі розв’язки: 1) $- 2 ⩽ 2 x < 4$ ; 2) $1, 3 < x - 2 ⩽ 2, 7$ .

Розв’язання

1) $- 1 ⩽ x < 2$ : $- 1, 0, 1$ .
2) $3, 3 < x ⩽ 4, 7$ : лише 4.

Відповідь:

1) −1; 0; 1; 2) 4.

Завдання 7.14

Системи з дужками

Розв’яжіть: 1) $2, 6 + x > 5 (x + 1) - 6$ , $2 (x - 0, 4) - x < 3 x - 0, 5$ ; 2) $1, 2 (3 - x) - 6 > 0, 8 x$ , $- 2 (1 - 4 x) - x < 5 x$ .

Розв’язання

1) Перша: $2, 6 + x > 5 x - 1 \Rightarrow x < 0, 9$ . Друга: $x - 0, 8 < 3 x - 0, 5 \Rightarrow x > - 0, 15$ . Разом: $(- 0, 15; 0, 9)$ .
2) Перша: $- 2, 4 - 1, 2 x > 0, 8 x \Rightarrow x < - 1, 2$ . Друга: $7 x - 2 < 5 x \Rightarrow x < 1$ . Разом: $x < - 1, 2$ .

Відповідь:

1) $(- 0, 15; 0, 9)$ ; 2) $(- \infty; - 1, 2)$ .

Завдання 7.15

Системи з дужками

Розв’яжіть: 1) $2 (x + 3) - 4 < x - 8$ , $6 x + 1 > 3 (x + 1)$ ; 2) $- (x - 2) - 3 (x - 1) < 2 x$ , $12 - (x - 3) ⩽ 5 x + 5$ .

Розв’язання

1) $x < - 10$ і $x > \frac{2}{3}$ — розв’язків немає.
2) $5 - 4 x < 2 x \Rightarrow x > \frac{5}{6}$ ; $15 - x ⩽ 5 x + 5 \Rightarrow x ⩾ \frac{5}{3}$ . Разом: $x ⩾ 1 \frac{2}{3}$ .

Відповідь:

1) $\emptyset$ ; 2) $[1 \frac{2}{3}; + \infty)$ .

Завдання 7.16

Невід’ємні значення двох функцій

За яких $x$ кожна з функцій $y = 0, 3 x - 1, 8$ і $y = 0, 2 x - 1, 2$ набуває невід’ємних значень?

Розв’язання

$0, 3 x - 1, 8 ⩾ 0 \Rightarrow x ⩾ 6$ ; $0, 2 x - 1, 2 ⩾ 0 \Rightarrow x ⩾ 6$ .

Відповідь:

$x ⩾ 6$ .

Завдання 7.17

Цілі розв’язки системи

Знайдіть цілі розв’язки: 1) $\frac{x}{5} > \frac{x + 1}{6}$ , $2 (x + 1) + 5 > 3 (x - 5) + 14$ ; 2) $\frac{5 x + 3}{2} ⩽ 3 x + 1$ , $(x + 1) x - 2 ⩽ x (x - 3) + 6$ .

Розв’язання

1) $6 x > 5 x + 5 \Rightarrow x > 5$ ; $2 x + 7 > 3 x - 1 \Rightarrow x < 8$ . Цілі: 6, 7.
2) $5 x + 3 ⩽ 6 x + 2 \Rightarrow x ⩾ 1$ ; $x^{2} + x - 2 ⩽ x^{2} - 3 x + 6 \Rightarrow x ⩽ 2$ . Цілі: 1, 2.

Відповідь:

1) 6; 7; 2) 1; 2.

Завдання 7.18

Цілі розв’язки системи

Знайдіть цілі розв’язки: 1) $\frac{x}{2} > \frac{x - 3}{3}$ , $3 (x + 1) - 5 < 2 (x - 3) + 4$ ; 2) $\frac{3 x - 1}{4} ⩽ x - 2$ , $(x - 2) x - 5 ⩾ x (x + 1) - 29$ .

Розв’язання

1) $3 x > 2 x - 6 \Rightarrow x > - 6$ ; $3 x - 2 < 2 x - 2 \Rightarrow x < 0$ . Цілі: $- 5, - 4, - 3, - 2, - 1$ .
2) $3 x - 1 ⩽ 4 x - 8 \Rightarrow x ⩾ 7$ ; $- 2 x - 5 ⩾ x - 29 \Rightarrow x ⩽ 8$ . Цілі: 7, 8.

Відповідь:

1) −5; −4; −3; −2; −1; 2) 7; 8.

Завдання 7.19

Медалі Паралімпіади-2024

Знайдіть суму всіх цілих розв’язків системи $x (x - 2) > x^{2} - 45$ , $\frac{x}{3} < \frac{2 x}{5} - \frac{6}{5}$ — і дізнаєтеся, скільки медалей здобула команда України на Паралімпійських іграх 2024 року в Парижі.

Розв’язання

Перша: $- 2 x > - 45 \Rightarrow x < 22, 5$ .
Друга: $5 x < 6 x - 18 \Rightarrow x > 18$ .
Цілі розв’язки: 19, 20, 21, 22; сума $= 82$ .

Відповідь:

82.