Сторінка 34

Розв’язання

1. 1) $\frac{1}{5}<\frac{1}{y}<1\Rightarrow \frac{2}{5}<\frac{x}{y}<4$.

2. 2) $5<5y<25$; $4<2x<8\Rightarrow \frac{1}{8}<\frac{1}{2x}<\frac{1}{4}$.

3. $\frac{5}{8}<\frac{5y}{2x}<\frac{25}{4}$.

Розв’язання

1. $5,4<a+b<6,2$.

2. $10,8<2(a+b)<12,4$.

Розв’язання

1. $18<2y<22$.

2. $10+18<x+2y<12+22$: $28<P<34$.

Розв’язання

1. $110^{\circ }<\angle B+\angle C<117^{\circ }$.

2. $180^{\circ }-117^{\circ }<\angle A<180^{\circ }-110^{\circ }$.

Розв’язання

1. 1) $a>4$ і $-b>3$: $a-b>7$.

2. 2) $2a>8$ і $-b>3$: $2a-b>11$.

3. 3) $5b<-15$ і $-a<-4$: $5b-a<-19$.

4. 4) $6b<-18$ і $-11a<-44$: $6b-11a<-62<-60$.

Розв’язання

1. 1) $m+(-n)>6+1=7$.

2. 2) $3m>18$, $-n>1$: $3m-n>19>13$.

3. 3) $2n<-2$, $-m<-6$: $2n-m<-8$.

4. 4) $4n<-4$, $-5m<-30$: $4n-5m<-34$.

Розв’язання

1. 1) $x^3+y⩾2\sqrt{x^{3}y}$, $x+y^3⩾2\sqrt{x{y}^3}$. Перемножуємо: $⩾4\sqrt{x^4{y}^4}=4x^2{y}^2$.

2. 2) $m+6⩾2\sqrt{6m}$, $n+3⩾2\sqrt{3n}$, $p+2⩾2\sqrt{2p}$. Добуток $⩾8\sqrt{36mnp}=48\sqrt{mnp}$.

3. 3) $a+1⩾2\sqrt{a}$ тощо, тому добуток $⩾8\sqrt{abc}=8\cdot 4=32$.

4. Рівність можлива лише при $a=b=c=1$, але тоді $abc=1\ne 16$. Отже, нерівність строга: $>32$.

Розв’язання

1. 1) $mn+1⩾2\sqrt{mn}$, $m+n⩾2\sqrt{mn}$, добуток $⩾4mn$.

2. 2) $a+2c⩾2\sqrt{2ac}$, $b+2a⩾2\sqrt{2ab}$, $c+2b⩾2\sqrt{2bc}$. Добуток $⩾8\sqrt{8a^2{b}^2{c}^2}=8\cdot 2\sqrt{2}abc=16\sqrt{2}abc$.

3. 3) $x+3⩾2\sqrt{3x}$ тощо: добуток $⩾8\sqrt{27xyz}=8\sqrt{81}=72$. Рівність лише при $x=y=z=3$, але тоді $xyz=27\ne 3$, тож нерівність строга.

Розв’язання

1. 1) $x+\frac{1}{x}⩾2$ і $y+\frac{1}{y}⩾2$; додаємо: $⩾4$.

2. 2) Кожен множник $⩾1+2=3>0$; перемножуємо: $⩾9$.

Розв’язання

1. $245<10m_1<252$, $312<12m_2<318$.

2. Один пакет: $245+312+5<m<252+318+5$, тобто $562<m<575$.

3. П’ять пакетів: $2810<M<2875$.

Розв’язання

1. 1) $\frac{(2c-1{)}^2}{5(c+1)}\cdot \frac{c+1}{2c-1}=\frac{2c-1}{5}$.

2. 2) $\frac{p-2}{m(m+2)}\cdot \frac{5(m+2)}{p-2}=\frac{5}{m}$.