Завдання 3.26, § 3. Почленне додавання і множення нерівностей — ГДЗ Алгебра 9 клас Істер О. С.

§ 3. Почленне додавання і множення нерівностей Завдання 3.26 с. 34

Доведення за нерівністю Коші

Умова

Доведіть: 1) $(x^{3} + y) (x + y^{3}) ⩾ 4 x^{2} y^{2}$ , якщо $x, y ⩾ 0$ ; 2) $(m + 6) (n + 3) (p + 2) ⩾ 48 mn p$ , якщо $m, n, p ⩾ 0$ ; 3) $(a + 1) (b + 1) (c + 1) > 32$ , якщо $a, b, c > 0$ і $ab c = 16$ .

Що треба знати

Нерівність Коші: для $u, v ⩾ 0$ маємо $u + v ⩾ 2 uv$ , причому рівність лише при $u = v$ .

💡 Підказка — спробуй спершу сам

Застосуй нерівність Коші до кожного множника, а потім перемнож.

Розв’язання крок за кроком

1) $x^{3} + y ⩾ 2 x^{3} y$ , $x + y^{3} ⩾ 2 x y^{3}$ . Перемножуємо: $⩾ 4 x^{4} y^{4} = 4 x^{2} y^{2}$ .
2) $m + 6 ⩾ 2 6 m$ , $n + 3 ⩾ 2 3 n$ , $p + 2 ⩾ 2 2 p$ . Добуток $⩾ 8 36 mn p = 48 mn p$ .
3) $a + 1 ⩾ 2 a$ тощо, тому добуток $⩾ 8 ab c = 8 \cdot 4 = 32$ .
Рівність можлива лише при $a = b = c = 1$ , але тоді $ab c = 1 \neq = 16$ . Отже, нерівність строга: $> 32$ .

Відповідь:

Доведено.

Розбір зрозумілий?