ГДЗ · Геометрія · 8 клас

Сторінка 24

Геометрія, Істер, 2025 · № 2.33–2.41 · 9 завдань

Повні розв’язки, як у зошиті. Хочеш розібратися самостійно — під кожним завданням є «Пояснення з репетитором».

§ 2. Паралелограм, його властивості й ознаки

Завдання 2.33

Бісектриса: різниця відрізків 1 см

Бісектриса кута B ділить AD на AK і KD, AK − KD = 1 см, периметр 40 см. Знайдіть сторони.

Розв’язання

$A D = x + x - 1 = 2 x - 1$ .
$2 (x + 2 x - 1) = 40$ , $3 x - 1 = 20$ , $x = 7$ .
$A B = 7$ см, $A D = 13$ см.

Відповідь:

7 см і 13 см.

Завдання 2.34

Бісектриса: відрізки 3 : 7

Бісектриса кута A ділить BC на BK : KC = 3 : 7, периметр 78 см. Знайдіть сторони.

Розв’язання

$2 (3 x + 10 x) = 78$ , $x = 3$ .
$A B = 9$ см, $B C = 30$ см.

Відповідь:

9 см і 30 см.

Завдання 2.35

Кут між висотами (5 : 7)

Два кути паралелограма відносяться як 5 : 7. Знайдіть кут між висотами з вершини: 1) тупого кута; 2) гострого кута.

Розв’язання

$x = 1 5^{\circ}$ : кути $7 5^{\circ}$ і $10 5^{\circ}$ .
1) З вершини тупого кута — $7 5^{\circ}$ .
2) З вершини гострого — $10 5^{\circ}$ .

Відповідь:

1) 75°; 2) 105°.

Завдання 2.36

Кут між висотами (різниця 12°)

Один кут паралелограма на 12° більший за інший. Знайдіть кут між висотами з вершини: 1) гострого кута; 2) тупого кута.

Розв’язання

Кути $8 4^{\circ}$ і $9 6^{\circ}$ .
1) З гострого кута — $9 6^{\circ}$ .
2) З тупого — $8 4^{\circ}$ .

Відповідь:

1) 96°; 2) 84°.

Завдання 2.37

Висоти трикутника перетинаються в одній точці

Доведіть, що три висоти трикутника (або їх продовження) перетинаються в одній точці.

Розв’язання

Через кожну вершину $△ A B C$ проведемо пряму, паралельну протилежній стороні. Вийде більший трикутник $A_{1} B_{1} C_{1}$ .
$A B A_{1} C$ і $A C B C_{1}$ — паралелограми, тому $B A_{1} = A C = C_{1} B$ : точка $B$ — середина $A_{1} C_{1}$ .
Висота $B H_{2} ⊥ A C$ , а $A C ∥ A_{1} C_{1}$ , тому висота з $B$ — серединний перпендикуляр до $A_{1} C_{1}$ . Так само й інші висоти.
Серединні перпендикуляри до сторін $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ перетинаються в одній точці — отже, і висоти $△ A B C$ . Для прямокутного трикутника точка — вершина прямого кута, для тупокутного перетинаються продовження висот.

Відповідь:

Доведено (ця точка — ортоцентр).

Завдання 2.38

Другий гострий кут

Перший гострий кут прямокутного трикутника 1) 20°; 2) 65°. Знайдіть другий.

Розв’язання

1) 70°; 2) 25°.

Відповідь:

1) 70°; 2) 25°.

Завдання 2.39

Найбільша ціла третя сторона

Дві сторони трикутника 7,2 см і 2,5 см. Якому найбільшому цілому числу сантиметрів може дорівнювати третя?

Розв’язання

$7, 2 - 2, 5 < c < 7, 2 + 2, 5$ , тобто $4, 7 < c < 9, 7$ .
Найбільше ціле — 9.

Відповідь:

9 см.

Завдання 2.40

Зовнішній кут удвічі більший

Зовнішній кут трикутника вдвічі більший за один із внутрішніх кутів, не суміжних з ним. Доведіть, що трикутник рівнобедрений.

Розв’язання

Зовнішній кут при $C$ : $∠ A + ∠ B = 2∠ A$ , отже, $∠ B = ∠ A$ .
Два кути рівні — трикутник рівнобедрений.

Відповідь:

Доведено.

Завдання 2.41

Чи можна побудувати чотирикутник

Чи можна побудувати чотирикутник зі сторонами 6, 6, 4 і 2 см та кутом 60° між рівними сторонами?

Розв’язання

$△ A B D$ : $A B = A D = 6$ , $∠ A = 6 0^{\circ}$ — рівносторонній, $B D = 6$ см.
Трикутник $B C D$ мав би сторони 4, 2 і 6, але $4 + 2 = 6$ — він вироджується у відрізок.

Відповідь:

Ні, не можна.