Завдання 2.37, § 2. Паралелограм, його властивості й ознаки — ГДЗ Геометрія 8 клас Істер

§ 2. Паралелограм, його властивості й ознаки Завдання 2.37 с. 24

Умова

Доведіть, що три висоти трикутника (або їх продовження) перетинаються в одній точці.

Що треба знати

Серединні перпендикуляри до сторін трикутника перетинаються в одній точці.

💡 Підказка — спробуй спершу сам

Через вершини проведи прямі, паралельні протилежним сторонам.

Розв’язання крок за кроком

Через кожну вершину $△ A B C$ проведемо пряму, паралельну протилежній стороні. Вийде більший трикутник $A_{1} B_{1} C_{1}$ .
$A B A_{1} C$ і $A C B C_{1}$ — паралелограми, тому $B A_{1} = A C = C_{1} B$ : точка $B$ — середина $A_{1} C_{1}$ .
Висота $B H_{2} ⊥ A C$ , а $A C ∥ A_{1} C_{1}$ , тому висота з $B$ — серединний перпендикуляр до $A_{1} C_{1}$ . Так само й інші висоти.
Серединні перпендикуляри до сторін $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ перетинаються в одній точці — отже, і висоти $△ A B C$ . Для прямокутного трикутника точка — вершина прямого кута, для тупокутного перетинаються продовження висот.

Відповідь:

Доведено (ця точка — ортоцентр).

Розбір зрозумілий?