ГДЗ · Алгебра · 8 клас

Сторінка 59

Алгебра, Істер, 2025 · № 7.27–7.34 · 8 завдань

Повні розв’язки, як у зошиті. Хочеш розібратися самостійно — під кожним завданням є «Пояснення з репетитором».

§ 7. Тотожні перетворення раціональних виразів

Завдання 7.27

Великі вирази з кубами

1) $(\frac{8 x ^{2} + 2 x}{8 x ^{3} - 1} - \frac{2 x + 1}{4 x ^{2} + 2 x + 1}) (1 + \frac{2 x + 1}{2 x} - \frac{4 x ^{2} + 10 x}{4 x ^{2} + 2 x})$ ; 2) $\frac{p ^{2} - 2 p + 1}{4} \cdot (\frac{2 p}{p ^{3} + 1} : \frac{1 - p}{p ^{2} - p + 1} + \frac{2}{p - 1}) : \frac{p - 1}{p + 1}$ .

Розв’язання

1) Перша дужка: $\frac{8 x ^{2} + 2 x - ( 4 x ^{2} - 1 )}{8 x ^{3} - 1} = \frac{1}{2 x - 1}$ .
Друга: $1 + \frac{2 x + 1}{2 x} - \frac{2 x + 5}{2 x + 1} = \frac{( 2 x - 1 ) ^{2}}{2 x ( 2 x + 1 )}$ . Добуток: $\frac{2 x - 1}{2 x ( 2 x + 1 )}$ .
2) $\frac{2 p}{( p + 1 ) ( p ^{2} - p + 1 )} \cdot \frac{p ^{2} - p + 1}{1 - p} = - \frac{2 p}{( p + 1 ) ( p - 1 )}$ ; плюс $\frac{2}{p - 1}$ дає $\frac{2}{( p + 1 ) ( p - 1 )}$ .
$\frac{( p - 1 ) ^{2}}{4} \cdot \frac{2}{( p + 1 ) ( p - 1 )} = \frac{p - 1}{2 ( p + 1 )}$ ; поділити на $\frac{p - 1}{p + 1}$ : $\frac{1}{2}$ .

Відповідь:

1) $\frac{2 x - 1}{2 x ( 2 x + 1 )}$ ; 2) $\frac{1}{2}$ .

Завдання 7.28

Добуток суми й різниці

Доведіть, що $(\frac{2 x}{x + 1} + \frac{2}{x - 1} + \frac{4 x}{x ^{2} - 1}) (\frac{2 x}{x + 1} + \frac{2}{x - 1} - \frac{4 x}{x ^{2} - 1})$ не залежить від x.

Розв’язання

$A + \frac{4 x}{x ^{2} - 1} = \frac{2 ( x + 1 ) ^{2}}{x ^{2} - 1} = \frac{2 ( x + 1 )}{x - 1}$ .
$A - \frac{4 x}{x ^{2} - 1} = \frac{2 ( x - 1 ) ^{2}}{x ^{2} - 1} = \frac{2 ( x - 1 )}{x + 1}$ .
Добуток: $4$ .

Відповідь:

Завжди 4.

Завдання 7.29

Вираз завжди додатний

Доведіть, що $(\frac{m ^{2} - 3 m}{m ^{3} + 3 m ^{2} + 3 m + 1} + \frac{1}{m ^{2} + 2 m + 1}) (\frac{3 - m}{m ^{2} - 2 m + 1} - \frac{2}{1 - m})$ додатний для всіх допустимих m.

Розв’язання

Перша: $\frac{m ^{2} - 3 m + m + 1}{( m + 1 ) ^{3}} = \frac{( m - 1 ) ^{2}}{( m + 1 ) ^{3}}$ .
Друга: $\frac{3 - m + 2 ( m - 1 )}{( m - 1 ) ^{2}} = \frac{m + 1}{( m - 1 ) ^{2}}$ .
Добуток: $\frac{1}{( m + 1 ) ^{2}} > 0$ .

Відповідь:

Доведено: вираз дорівнює 1/(m + 1)².

Завдання 7.30

Ланцюгові дроби (1)

1) $1 - \frac{x}{1 - \frac{x}{x + 1}}$ ; 2) $\frac{m}{m - \frac{1}{m - \frac{m}{1 - m}}}$ .

Розв’язання

1) $\frac{x}{1/ ( x + 1 )} = x (x + 1)$ , тож $1 - x - x^{2}$ .
2) $m - \frac{m}{1 - m} = \frac{m ^{2}}{m - 1}$ ; $m - \frac{m - 1}{m ^{2}} = \frac{m ^{3} - m + 1}{m ^{2}}$ ; результат $\frac{m ^{3}}{m ^{3} - m + 1}$ .

Відповідь:

1) $1 - x - x^{2}$ ; 2) $\frac{m ^{3}}{m ^{3} - m + 1}$ .

Завдання 7.31

Ланцюгові дроби (2)

1) $1 + \frac{2 x}{1 - \frac{x}{x + 2}}$ ; 2) $\frac{1}{n - \frac{1}{n + \frac{n}{n - 1}}}$ .

Розв’язання

1) $\frac{2 x ( x + 2 )}{2} = x^{2} + 2 x$ , тож $(x + 1)^{2}$ .
2) $n + \frac{n}{n - 1} = \frac{n ^{2}}{n - 1}$ ; $n - \frac{n - 1}{n ^{2}} = \frac{n ^{3} - n + 1}{n ^{2}}$ ; результат $\frac{n ^{2}}{n ^{3} - n + 1}$ .

Відповідь:

1) $(x + 1)^{2}$ ; 2) $\frac{n ^{2}}{n ^{3} - n + 1}$ .

Завдання 7.32

У вигляді степеня

1) $x^{7} x^{3} : x^{2}$ ; 2) $(x^{5} : x^{2}) : x$ ; 3) $(a^{2})^{3} \cdot a$ ; 4) $(x^{3})^{5} : x^{4}$ .

Розв’язання

1) $x^{8}$ ; 2) $x^{2}$ ; 3) $a^{7}$ ; 4) $x^{11}$ .

Відповідь:

1) $x^{8}$ ; 2) $x^{2}$ ; 3) $a^{7}$ ; 4) $x^{11}$ .

Завдання 7.33

Подільність на 7

Доведіть, що $8^{9} - 4^{12}$ ділиться на 7.

Розв’язання

$2^{27} - 2^{24} = 2^{24} (2^{3} - 1) = 7 \cdot 2^{24}$ .

Відповідь:

Доведено.

Завдання 7.34

Кусково задані функції

1) $y = 2 x + 4$ при $x < 0$ , $y = 4 - x$ при $x ⩾ 0$ ; 2) $y = 2 x + 5$ при $x < - 1$ , $y = 3$ при $- 1 ⩽ x ⩽ 4$ , $y = x - 1$ при $x > 4$ .

Розв’язання

1) Ліворуч від 0 — промінь прямої $y = 2 x + 4$ (через $(- 2; 0)$ , підходить до $(0; 4)$ ), праворуч — промінь $y = 4 - x$ з точки $(0; 4)$ через $(4; 0)$ . Графік неперервний.
2) До $x = - 1$ — промінь $y = 2 x + 5$ , що підходить до $(- 1; 3)$ ; на $[- 1; 4]$ — горизонтальний відрізок $y = 3$ ; далі — промінь $y = x - 1$ з точки $(4; 3)$ .

Відповідь:

Графіки — ламані з двох (1) і трьох (2) частин, без розривів.