ГДЗ · Алгебра · 9 клас

Сторінка 49

Алгебра, Істер О. С., Істер Д. О., 2026 · № 6.23–6.34 · 12 завдань

Повні розв’язки, як у зошиті. Хочеш розібратися самостійно — під кожним завданням є «Пояснення з репетитором».

§ 6. Лінійні нерівності з однією змінною

Завдання 6.23

Область визначення функції

Знайдіть область визначення: 1) $y = x - 1$ ; 2) $y = \frac{1}{x + 4}$ .

Розв’язання

1) $x ⩾ 1$ .
2) $x > - 4$ .

Відповідь:

1) $[1; + \infty)$ ; 2) $(- 4; + \infty)$ .

Завдання 6.24

Нерівності з дробами

Розв’яжіть: 1) $\frac{3 x}{4} - x < 2$ ; 2) $\frac{5 x}{3} + x ⩾ 16$ .

Розв’язання

1) $- \frac{x}{4} < 2 \Rightarrow x > - 8$ .
2) $\frac{8 x}{3} ⩾ 16 \Rightarrow x ⩾ 6$ .

Відповідь:

1) $x > - 8$ ; 2) $x ⩾ 6$ .

Завдання 6.25

Нерівність з параметром

За яких $a$ нерівність $a x < 4$ має ту саму множину розв’язків, що й: 1) $x < \frac{4}{a}$ ; 2) $x > \frac{4}{a}$ ?

Розв’язання

1) Знак зберігся — ділили на $a > 0$ .
2) Знак змінився — ділили на $a < 0$ .

Відповідь:

1) $a > 0$ ; 2) $a < 0$ .

Завдання 6.26

Нерівність з параметром

За яких $b$ нерівність $b x ⩾ 7$ має ту саму множину розв’язків, що й: 1) $x ⩾ \frac{7}{b}$ ; 2) $x ⩽ \frac{7}{b}$ ?

Розв’язання

1) $b > 0$ .
2) $b < 0$ .

Відповідь:

1) $b > 0$ ; 2) $b < 0$ .

Завдання 6.27

Склади нерівність

Складіть нерівність вигляду $a x > b$ , множиною розв’язків якої є: 1) $(3; + \infty)$ ; 2) $(- \infty; 1)$ .

Розв’язання

1) $x > 3$ , наприклад $2 x > 6$ .
2) $x < 1 \Leftrightarrow - x > - 1$ , наприклад $- 2 x > - 2$ .

Відповідь:

Наприклад: 1) $2 x > 6$ ; 2) $- 2 x > - 2$ .

Завдання 6.28

Натуральні розв’язки

Знайдіть усі натуральні розв’язки: 1) $x (x + 2) - x^{2} > 4 x - 7$ ; 2) $(x + 5) (x - 5) ⩽ x^{2} - 5 x$ .

Розв’язання

1) $2 x > 4 x - 7 \Rightarrow - 2 x > - 7 \Rightarrow x < 3, 5$ : натуральні 1, 2, 3.
2) $x^{2} - 25 ⩽ x^{2} - 5 x \Rightarrow 5 x ⩽ 25 \Rightarrow x ⩽ 5$ : натуральні 1, 2, 3, 4, 5.

Відповідь:

1) 1, 2, 3; 2) 1, 2, 3, 4, 5.

Завдання 6.29

Натуральні розв’язки

Знайдіть усі натуральні розв’язки: 1) $(x + 1)^{2} - x^{2} ⩾ 6 x - 9$ ; 2) $(x - 1) (x + 2) < x^{2} - 3 x + 11$ .

Розв’язання

1) $2 x + 1 ⩾ 6 x - 9 \Rightarrow x ⩽ 2, 5$ : 1, 2.
2) $x^{2} + x - 2 < x^{2} - 3 x + 11 \Rightarrow 4 x < 13 \Rightarrow x < 3, 25$ : 1, 2, 3.

Відповідь:

1) 1, 2; 2) 1, 2, 3.

Завдання 6.30

Рік заснування ХПІ

$x_{0}$ — найбільший натуральний розв’язок нерівності $(x - 3)^{2} - (x + 1)^{2} > 2 x - 43$ . Знайдіть $377 x_{0}$ — рік заснування НТУ «Харківський політехнічний інститут».

Розв’язання

$(x^{2} - 6 x + 9) - (x^{2} + 2 x + 1) = - 8 x + 8$ .
$- 8 x + 8 > 2 x - 43 \Rightarrow - 10 x > - 51 \Rightarrow x < 5, 1$ .
$x_{0} = 5$ , $377 \cdot 5 = 1885$ .

Відповідь:

$x_{0} = 5$ ; 1885 рік.

Завдання 6.31

Конституція Пилипа Орлика

$x_{0}$ — найменший натуральний розв’язок нерівності $(x - 2)^{2} - (x - 1)^{2} < x - 52$ . Знайдіть $90 x_{0}$ — рік прийняття Конституції Пилипа Орлика.

Розв’язання

$(x^{2} - 4 x + 4) - (x^{2} - 2 x + 1) = - 2 x + 3$ .
$- 2 x + 3 < x - 52 \Rightarrow - 3 x < - 55 \Rightarrow x > 18 \frac{1}{3}$ .
$x_{0} = 19$ , $90 \cdot 19 = 1710$ .

Відповідь:

$x_{0} = 19$ ; 1710 рік.

Завдання 6.32

Найменший цілий розв’язок

Знайдіть найменший цілий розв’язок: 1) $\frac{x + 3}{4} - \frac{x}{3} ⩽ 0$ ; 2) $\frac{x + 1}{2} - \frac{1 - 5 x}{5} > x$ .

Розв’язання

1) $3 (x + 3) - 4 x ⩽ 0 \Rightarrow - x + 9 ⩽ 0 \Rightarrow x ⩾ 9$ : найменше ціле 9.
2) $5 (x + 1) - 2 (1 - 5 x) > 10 x \Rightarrow 15 x + 3 > 10 x \Rightarrow x > - 0, 6$ : найменше ціле 0.

Відповідь:

1) 9; 2) 0.

Завдання 6.33

Найбільший цілий розв’язок

Знайдіть найбільший цілий розв’язок: 1) $\frac{x + 2}{7} - \frac{x}{5} ⩾ 0$ ; 2) $\frac{x - 1}{3} - \frac{1 - 4 x}{2} < x$ .

Розв’язання

1) $5 (x + 2) - 7 x ⩾ 0 \Rightarrow - 2 x ⩾ - 10 \Rightarrow x ⩽ 5$ : найбільше ціле 5.
2) $2 (x - 1) - 3 (1 - 4 x) < 6 x \Rightarrow 14 x - 5 < 6 x \Rightarrow x < 0, 625$ : найбільше ціле 0.

Відповідь:

1) 5; 2) 0.

Завдання 6.34

Нерівності виду 0·x

Знайдіть множину розв’язків: 1) $2 (3 x + 1) - 3 x > 3 x$ ; 2) $x + \frac{x}{2} ⩾ \frac{3 x}{2} + 2$ ; 3) $4 (x + 1) ⩾ 2 (x + 2) + 2 x$ ; 4) $3 (x - 1) - 2 x < x - 3$ .

Розв’язання

1) $3 x + 2 > 3 x \Rightarrow 0 \cdot x > - 2$ — правильно завжди: $x$ — будь-яке.
2) $\frac{3 x}{2} ⩾ \frac{3 x}{2} + 2 \Rightarrow 0 ⩾ 2$ — розв’язків немає.
3) $4 x + 4 ⩾ 4 x + 4 \Rightarrow 0 ⩾ 0$ — будь-яке $x$ .
4) $x - 3 < x - 3 \Rightarrow 0 < 0$ — розв’язків немає.

Відповідь:

1) $(- \infty; + \infty)$ ; 2) $\emptyset$ ; 3) $(- \infty; + \infty)$ ; 4) $\emptyset$ .