ГДЗ · Алгебра · 9 клас

Сторінка 43

Алгебра, Істер О. С., Істер Д. О., 2026 · № 5.15–5.25 · 11 завдань

Повні розв’язки, як у зошиті. Хочеш розібратися самостійно — під кожним завданням є «Пояснення з репетитором».

§ 5. Числові проміжки

Завдання 5.15

Чи належить корінь проміжку

Чи належить проміжку $[2, 5; 6, 1)$ число: 1) $5$ ; 2) $13$ ; 3) $15$ ; 4) $39$ ?

Розв’язання

Потрібно $6, 25 ⩽ n < 37, 21$ .
5 — ні; 13 і 15 — так; 39 — ні.

Відповідь:

1) ні; 2) так; 3) так; 4) ні.

Завдання 5.16

Перетин проміжків

Запишіть перетин: 1) $[- 2; 3)$ і $[0; 4]$ ; 2) $[- 5; 4]$ і $(- 2; 1)$ ; 3) $(- \infty; 2)$ і $(- \infty; 3]$ ; 4) $(- \infty; 4)$ і $[0; + \infty)$ ; 5) $[2; 3)$ і $(2; 8)$ ; 6) $(- 2; 1)$ і $(2; 5)$ .

Розв’язання

1) $[0; 3)$ ; 2) $(- 2; 1)$ ; 3) $(- \infty; 2)$ .
4) $[0; 4)$ ; 5) $(2; 3)$ ; 6) спільних точок немає — $\emptyset$ .

Відповідь:

1) $[0; 3)$ ; 2) $(- 2; 1)$ ; 3) $(- \infty; 2)$ ; 4) $[0; 4)$ ; 5) $(2; 3)$ ; 6) $\emptyset$ .

Завдання 5.17

Перетин проміжків

Запишіть перетин: 1) $(- 1; 8)$ і $(0; 9)$ ; 2) $(- 2; 4]$ і $[1; 2)$ ; 3) $(- \infty; 1)$ і $(- 2; 3)$ ; 4) $[1; 5)$ і $[6; + \infty)$ .

Розв’язання

1) $(0; 8)$ ; 2) $[1; 2)$ ; 3) $(- 2; 1)$ ; 4) $\emptyset$ .

Відповідь:

1) $(0; 8)$ ; 2) $[1; 2)$ ; 3) $(- 2; 1)$ ; 4) $\emptyset$ .

Завдання 5.18

Об’єднання проміжків

Запишіть об’єднання: 1) $(- 3; 1)$ і $(0; 4]$ ; 2) $[0; 1)$ і $[- 2; 1]$ ; 3) $[3; 8)$ і $[4; 5]$ ; 4) $(- \infty; 3)$ і $[2, 8; 4)$ ; 5) $[1; 3)$ і $[3; 5]$ ; 6) $(0; 1]$ і $(2; + \infty)$ .

Розв’язання

1) $(- 3; 4]$ ; 2) $[- 2; 1]$ ; 3) $[3; 8)$ .
4) $(- \infty; 4)$ ; 5) $[1; 5]$ ; 6) $(0; 1] \cup (2; + \infty)$ — це не проміжок, бо між 1 і 2 є «розрив».

Відповідь:

1) $(- 3; 4]$ ; 2) $[- 2; 1]$ ; 3) $[3; 8)$ ; 4) $(- \infty; 4)$ ; 5) $[1; 5]$ ; 6) $(0; 1] \cup (2; + \infty)$ .

Завдання 5.19

Об’єднання проміжків

Запишіть об’єднання: 1) $[- 2; 3)$ і $(2; 5]$ ; 2) $(2; 4)$ і $[2; 10)$ ; 3) $(- \infty; 0)$ і $[0; 1]$ ; 4) $(- \infty; 4)$ і $(3; + \infty)$ .

Розв’язання

1) $[- 2; 5]$ ; 2) $[2; 10)$ ; 3) $(- \infty; 1]$ ; 4) $(- \infty; + \infty)$ — уся пряма.

Відповідь:

1) $[- 2; 5]$ ; 2) $[2; 10)$ ; 3) $(- \infty; 1]$ ; 4) $(- \infty; + \infty)$ .

Завдання 5.20

Скорочення дробів з коренями

Скоротіть дріб: 1) $\frac{m ^{2} - 5}{m + 5}$ ; 2) $\frac{m - n}{m - 2 mn + n}$ .

Розв’язання

1) $\frac{( m - 5 ) ( m + 5 )}{m + 5} = m - 5$ .
2) $\frac{m - n}{( m - n ) ^{2}} = \frac{1}{m - n}$ .

Відповідь:

1) $m - 5$ ; 2) $\frac{1}{m - n}$ .

Завдання 5.21

Доведення нерівності

Доведіть нерівність $(x + 5) (x - 9) < (x - 2)^{2}$ .

Розв’язання

$(x + 5) (x - 9) = x^{2} - 4 x - 45$ , $(x - 2)^{2} = x^{2} - 4 x + 4$ .
Різниця: $(x^{2} - 4 x - 45) - (x^{2} - 4 x + 4) = - 49 < 0$ — доведено.

Відповідь:

Різниця дорівнює −49, отже нерівність правильна для будь-якого x.

Завдання 5.22

Задача про поїзд

На перегоні 120 км поїзд рухався зі швидкістю на 10 км/год меншою, ніж за розкладом, і запізнився на 24 хв. З якою швидкістю мав рухатися поїзд за розкладом?

Розв’язання

$\frac{120}{v - 10} - \frac{120}{v} = 0, 4$ .
$120 v - 120 (v - 10) = 0, 4 v (v - 10)$ , звідки $1200 = 0, 4 v^{2} - 4 v$ , тобто $v^{2} - 10 v - 3000 = 0$ .
$D = 100 + 12000 = 12100$ , $v = \frac{10 + 110}{2} = 60$ (другий корінь від’ємний).

Відповідь:

60 км/год.

Завдання 5.23

Значення виразу x + 1/x

Знайдіть значення виразу $x + \frac{1}{x}$ , якщо $x^{2} + \frac{1}{x ^{2}} = 34$ .

Розв’язання

$(x + \frac{1}{x})^{2} = 34 + 2 = 36$ .
Отже, $x + \frac{1}{x} = 6$ або $x + \frac{1}{x} = - 6$ .

Відповідь:

$\pm 6$ .

Завдання 5.24

Лінійні рівняння

Знайдіть корені: 1) $2 x = 6$ ; 2) $6 x = - 12$ ; 3) $- 4 x = 160$ ; 4) $- 5 x = - 20$ ; 5) $0 x = 7$ ; 6) $0 x = 0$ .

Розв’язання

1) 3; 2) $- 2$ ; 3) $- 40$ ; 4) 4.
5) $0 \cdot x = 0 \neq = 7$ — коренів немає.
6) Будь-яке число є коренем.

Відповідь:

1) 3; 2) −2; 3) −40; 4) 4; 5) коренів немає; 6) x — будь-яке число.

Завдання 5.25

Лінійні рівняння

Розв’яжіть: 1) $2 x - 3 = 3 x + 7$ ; 2) $2 (x - 3) = 7 (x + 2) - 1$ ; 3) $2 (x - 3) - (x + 2) = 1 - 3 x$ ; 4) $\frac{x + 1}{2} - \frac{x - 2}{3} = 2$ .

Розв’язання

1) $- x = 10$ , $x = - 10$ .
2) $2 x - 6 = 7 x + 13$ , $- 5 x = 19$ , $x = - 3, 8$ .
3) $x - 8 = 1 - 3 x$ , $4 x = 9$ , $x = 2, 25$ .
4) $3 (x + 1) - 2 (x - 2) = 12$ , $x + 7 = 12$ , $x = 5$ .

Відповідь:

1) −10; 2) −3,8; 3) 2,25; 4) 5.