ГДЗ · Алгебра · 9 клас

Сторінка 192

Алгебра, Істер О. С., Істер Д. О., 2026 · № 21.10–21.19 · 10 завдань

Повні розв’язки, як у зошиті. Хочеш розібратися самостійно — під кожним завданням є «Пояснення з репетитором».

§ 21. Нескінченна геометрична прогресія та її сума

Завдання 21.10

Відрізки на промені

Перший відрізок 12 см, кожен наступний — $\frac{1}{4}$ попереднього. Сума довжин нескінченної кількості відрізків?

Розв’язання

$\frac{12}{\frac{3}{4}} = 16$ см.

Відповідь:

16 см.

Завдання 21.11

Суми з коренями (1)

1) $52$ ; 5; $\frac{5 2}{2}$ ; …; 2) $\frac{1}{4 - 2 2}$ ; $\frac{1}{2}$ ; $\frac{1}{2 + 2}$ ; ….

Розв’язання

1) $\frac{5 2}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{10}{2 - 1} = 10 (2 + 1)$ .
2) $\frac{1}{( 4 - 2 2 ) ( 2 - 1 )} = \frac{1}{6 2 - 8} = \frac{6 2 + 8}{8} = \frac{4 + 3 2}{4}$ .

Відповідь:

$10 (2 + 1)$ ; $\frac{4 + 3 2}{4}$ .

Завдання 21.12

Суми з коренями (2)

1) $33$ ; 3; $3$ ; …; 2) $1 + 5$ ; $\frac{1 + 5}{5}$ ; $\frac{1 + 5}{5}$ ; ….

Розв’язання

1) $\frac{9}{3 - 1} = \frac{9 ( 3 + 1 )}{2}$ .
2) $\frac{( 1 + 5 ) 5}{5 - 1} = \frac{( 5 + 5 ) ( 5 + 1 )}{4} = \frac{5 + 3 5}{2}$ .

Відповідь:

$\frac{9 ( 3 + 1 )}{2}$ ; $\frac{5 + 3 5}{2}$ .

Завдання 21.13

Сума за b₃ або b₄ (1)

1) $b_{3} = 20$ , $q = \frac{1}{2}$ ; 2) $b_{4} = 1$ , $q = - \frac{1}{3}$ .

Розв’язання

1) $b_{1} = 80$ , S = 160. 2) $b_{1} = - 27$ , $S = \frac{- 27}{\frac{4}{3}} = - \frac{81}{4}$ .

Відповідь:

160; −20,25.

Завдання 21.14

Сума за b₅ або b₂ (2)

1) $b_{5} = 1$ , $q = \frac{1}{3}$ ; 2) $b_{2} = - 10$ , $q = - \frac{2}{3}$ .

Розв’язання

1) $b_{1} = 81$ , S = 121,5. 2) $b_{1} = 15$ , $S = \frac{15}{\frac{5}{3}} = 9$ .

Відповідь:

121,5; 9.

Завдання 21.15

Суми зі змінною, |x| < 1

1) $1 + x + x^{2} + x^{3} + \dots$ ; 2) $x - x^{3} + x^{5} - x^{7} + \dots$

Розв’язання

1) $\frac{1}{1 - x}$ ; 2) $\frac{x}{1 + x ^{2}}$ .

Відповідь:

$\frac{1}{1 - x}$ ; $\frac{x}{1 + x ^{2}}$ .

Завдання 21.16

Періодичні дроби (1)

1) 0,(3); 2) 0,(15); 3) 3,1111…; 4) 7,393939…; 5) 0,6(3); 6) 7,(25).

Розв’язання

1) $\frac{1}{3}$ ; 2) $\frac{15}{99} = \frac{5}{33}$ ; 3) $3 \frac{1}{9}$ .
4) $7 \frac{39}{99} = 7 \frac{13}{33}$ ; 5) $\frac{63 - 6}{90} = \frac{19}{30}$ ; 6) $7 \frac{25}{99}$ .

Відповідь:

Див. кроки.

Завдання 21.17

Періодичні дроби (2)

1) 0,(7); 2) 0,(18); 3) 5,2222…; 4) 4,424242…; 5) 0,5(4); 6) 4,(28).

Розв’язання

1) $\frac{7}{9}$ ; 2) $\frac{2}{11}$ ; 3) $5 \frac{2}{9}$ ; 4) $4 \frac{14}{33}$ ; 5) $\frac{54 - 5}{90} = \frac{49}{90}$ ; 6) $4 \frac{28}{99}$ .

Відповідь:

Див. кроки.

Завдання 21.18

Член прогресії за сумою (1)

1) $b_{5}$ : S = 13,5, $q = \frac{1}{3}$ ; 2) $b_{2}$ : S = 49, $b_{1} = 56$ .

Розв’язання

1) $b_{1} = 9$ , $b_{5} = \frac{9}{81} = \frac{1}{9}$ .
2) $q = 1 - \frac{56}{49} = - \frac{1}{7}$ , $b_{2} = - 8$ .

Відповідь:

1/9; −8.

Завдання 21.19

Член прогресії за сумою (2)

1) $b_{3}$ : S = 25, $b_{1} = 20$ ; 2) $b_{4}$ : S = 81, $q = - \frac{2}{3}$ .

Розв’язання

1) $q = \frac{1}{5}$ , $b_{3} = \frac{20}{25} = 0, 8$ .
2) $b_{1} = 81 \cdot \frac{5}{3} = 135$ , $b_{4} = 135 \cdot (- \frac{8}{27}) = - 40$ .

Відповідь:

0,8; −40.