ГДЗ · Алгебра · 9 клас

Сторінка 121

Алгебра, Істер О. С., Істер Д. О., 2026 · № 12.34–12.44 · 11 завдань

Повні розв’язки, як у зошиті. Хочеш розібратися самостійно — під кожним завданням є «Пояснення з репетитором».

§ 12. Квадратна нерівність

Завдання 12.34

Життєва математика: зв’язок мотоциклістки

$S = v_{0} t + \frac{a t ^{2}}{2}$ , $v_{0} = 54$ км/год, $a = 8$ км/год². Стабільний зв’язок — не далі 28 км від міста. Скільки хвилин він буде?

Розв’язання

$2 t^{2} + 27 t - 14 ⩽ 0$ , корені −14 і 0,5.
При t ≥ 0: 0 ≤ t ≤ 0,5 год = 30 хв.

Відповідь:

30 хв.

Завдання 12.35

Системи нерівностей (1)

1) ${x^{2} + 7 x - 8 < 0, x > 0;$ 2) ${2 x^{2} + 5 x - 3 ⩾ 0, 2 x - 6 > 0.$

Розв’язання

1) (−8; 1) ∩ (0; +∞) = (0; 1).
2) ((−∞; −3] ∪ [0,5; +∞)) ∩ (3; +∞) = (3; +∞).

Відповідь:

(0; 1) | (3; +∞).

Завдання 12.36

Системи нерівностей (2)

1) ${2 x^{2} + 5 x - 18 ⩾ 0, x < 0;$ 2) ${x^{2} - 10 x - 24 < 0, 2 x - 16 ⩾ 0.$

Розв’язання

1) (−∞; −4,5].
2) (−2; 12) ∩ [8; +∞) = [8; 12).

Відповідь:

(−∞; −4,5] | [8; 12).

Завдання 12.37

Цілі розв’язки систем (1)

1) ${x^{2} - 6 x + 8 > 0, 0 ⩽ x < 7;$ 2) ${x^{2} + 2 x - 3 ⩾ 0, x^{2} + x - 6 ⩽ 0.$

Розв’язання

1) [0; 2) ∪ (4; 7): цілі 0, 1, 5, 6.
2) ((−∞; −3] ∪ [1; +∞)) ∩ [−3; 2] = {−3} ∪ [1; 2]: цілі −3, 1, 2.

Відповідь:

0; 1; 5; 6 | −3; 1; 2.

Завдання 12.38

Цілі розв’язки систем (2)

1) ${x^{2} - 4 x + 3 ⩾ 0, - 1 < x < 6;$ 2) ${2 x^{2} + 7 x - 9 ⩾ 0, x^{2} - 9 ⩽ 0.$

Розв’язання

1) (−1; 1] ∪ [3; 6): 0, 1, 3, 4, 5.
2) [1; 3]: 1, 2, 3.

Відповідь:

0; 1; 3; 4; 5 | 1; 2; 3.

Завдання 12.39

Дробові нерівності

1) $\frac{x ^{2} - 8 x + 15}{( x - 4 ) ^{2}} ⩽ 0$ ; 2) $\frac{x ^{2} + x - 2}{∣ x - 2∣} > 0$ .

Розв’язання

1) x² − 8x + 15 ≤ 0: [3; 5], x ≠ 4: [3; 4) ∪ (4; 5].
2) x² + x − 2 > 0: (−∞; −2) ∪ (1; +∞), x ≠ 2: (−∞; −2) ∪ (1; 2) ∪ (2; +∞).

Відповідь:

Див. кроки.

Завдання 12.40

ОДЗ виразу з двома коренями

$x^{2} - 9 + \frac{1}{4 + 3 x - x ^{2}}$ .

Розв’язання

x² − 9 ≥ 0: (−∞; −3] ∪ [3; +∞).
4 + 3x − x² > 0: (−1; 4).
Перетин: [3; 4).

Відповідь:

[3; 4).

Завдання 12.41

Область визначення функції

$y = \frac{1}{x ^{2} - 16} + 8 x - x^{2} - 15$ .

Розв’язання

x² > 16: (−∞; −4) ∪ (4; +∞); x² − 8x + 15 ≤ 0: [3; 5].
Перетин: (4; 5].

Відповідь:

(4; 5].

Завдання 12.42

Рівняння без коренів (параметр)

1) $x^{2} - (a - 2) x + 4 = 0$ ; 2) $(a + 1) x^{2} + 5 a x + 3 a = 0$ .

Розв’язання

1) $D = (a - 2)^{2} - 16 < 0$ : $∣ a - 2∣ < 4$ , $- 2 < a < 6$ .
2) При a = −1 рівняння лінійне $- 5 x - 3 = 0$ і має корінь. При $a \neq = - 1$ : $D = 25 a^{2} - 12 a (a + 1) = 13 a^{2} - 12 a < 0$ , $0 < a < \frac{12}{13}$ .

Відповідь:

1) −2 < a < 6; 2) $0 < a < \frac{12}{13}$ .

Завдання 12.43

Два різні корені (параметр)

1) $x^{2} - a x + (2 a - 3) = 0$ ; 2) $a x^{2} + (3 a - 2) x + a = 0$ .

Розв’язання

1) $a^{2} - 8 a + 12 > 0$ : $a < 2$ або $a > 6$ .
2) $a \neq = 0$ , $D = (3 a - 2)^{2} - 4 a^{2} = 5 a^{2} - 12 a + 4 > 0$ : $a < 0, 4$ або $a > 2$ ; разом: $a < 0$ , $0 < a < 0, 4$ або $a > 2$ .

Відповідь:

1) a < 2 або a > 6; 2) a < 0, 0 < a < 0,4, a > 2.

Завдання 12.44

Параметр: немає коренів / два корені

1) $x^{2} - (a + 1) x + 9 = 0$ не має коренів; 2) $a x^{2} + (2 a - 1) x + a = 0$ має два різні корені.

Розв’язання

1) $(a + 1)^{2} < 36$ : $- 7 < a < 5$ .
2) $D = (2 a - 1)^{2} - 4 a^{2} = 1 - 4 a > 0$ : $a < \frac{1}{4}$ , $a \neq = 0$ .

Відповідь:

1) −7 < a < 5; 2) a < 0 або $0 < a < \frac{1}{4}$ .