ГДЗ · Алгебра · 9 клас

Сторінка 186

Алгебра, Істер О. С., Істер Д. О., 2026 · № 20.18–20.28 · 11 завдань

Повні розв’язки, як у зошиті. Хочеш розібратися самостійно — під кожним завданням є «Пояснення з репетитором».

§ 20. Сума n перших членів геометричної прогресії

Завдання 20.18

Перший член за сумою (2)

1) q = −2, $S_{6} = - 63$ ; 2) $q = \frac{1}{3}$ , $S_{5} = 121$ .

Розв’язання

1) $b_{1} \cdot \frac{64 - 1}{- 3} = - 21 b_{1} = - 63$ , $b_{1} = 3$ .
2) $\frac{121}{81} b_{1} = 121$ , $b_{1} = 81$ .

Відповідь:

3; 81.

Завдання 20.19

Скоротити дріб

1) $\frac{1 + x ^{2} + x ^{4} + x ^{6} + x ^{8}}{x ^{10} - 1}$ ; 2) $\frac{1 - x + x ^{2} - x ^{3} + x ^{4} - x ^{5}}{x ^{6} - 1}$ .

Розв’язання

1) Чисельник $\frac{x ^{10} - 1}{x ^{2} - 1}$ , тож дріб дорівнює $\frac{1}{x ^{2} - 1}$ .
2) Чисельник $\frac{1 - x ^{6}}{1 + x}$ , дріб дорівнює $- \frac{1}{x + 1}$ .

Відповідь:

$\frac{1}{x ^{2} - 1}$ ; $- \frac{1}{x + 1}$ .

Завдання 20.20

S₅ за b₂ = 125, b₄ = 5

Знайдіть S₅.

Розв’язання

$q = \frac{1}{5}$ , $b_{1} = 625$ : 625 + 125 + 25 + 5 + 1 = 781.
$q = - \frac{1}{5}$ , $b_{1} = - 625$ : −625 + 125 − 25 + 5 − 1 = −521.

Відповідь:

781 або −521.

Завдання 20.21

S₆ за c₃ = 27, c₅ = 3

Знайдіть S₆.

Розв’язання

q = 1/3: 243 + 81 + 27 + 9 + 3 + 1 = 364.
q = −1/3: 243 − 81 + 27 − 9 + 3 − 1 = 182.

Відповідь:

364 або 182.

Завдання 20.22

Задача Перельмана: угода з багатієм

Чоловік щодня 30 днів платить багатію 100 000 крб., а багатій йому — 1 коп., 2 коп., 4 коп. і т. д. Хто виграє?

Розв’язання

Чоловік заплатить 30 · 100 000 = 3 000 000 крб.
Багатій заплатить $2^{30} - 1 = 1073741823$ коп. = 10 737 418,23 крб.

Відповідь:

Виграє чоловік, що запропонував угоду.

Завдання 20.23

S₆ за різницями членів (1)

c₅ − c₃ = 144, c₄ − c₂ = 48.

Розв’язання

$\frac{c _{1} q ^{2} ( q ^{2} - 1 )}{c _{1} q ( q ^{2} - 1 )} = q = 3$ ; $c_{1} \cdot 3 \cdot 8 = 48$ , $c_{1} = 2$ .
$S_{6} = \frac{2 ( 729 - 1 )}{2} = 728$ .

Відповідь:

728.

Завдання 20.24

S₅ за різницями членів (2)

b₆ − b₄ = 48, b₃ − b₅ = 24.

Розв’язання

$\frac{b _{1} q ^{3} ( q ^{2} - 1 )}{- b _{1} q ^{2} ( q ^{2} - 1 )} = - q = 2$ , q = −2; $b_{1} \cdot 4 \cdot (- 3) = 24$ , $b_{1} = - 2$ .
$S_{5} = \frac{- 2 ( 1 + 32 )}{3} = - 22$ .

Відповідь:

−22.

Завдання 20.25

Життєва математика: Марічка і Павло (ФОП)

Марічка: перший місяць 60 000 грн, щомісяця на 5 % більше. Павло: 60 000 грн, щомісяця на 5000 грн більше. 1) Хто заробив більше за пів року? 2) Те саме, якщо перший місяць 100 000 грн.

Розв’язання

1) Марічка ≈ 408 000 грн, Павло: (60 000 + 85 000) · 3 = 435 000 грн — Павло більше на ≈ 27 000 грн.
2) Марічка ≈ 680 000 грн, Павло (100 000 + 125 000) · 3 = 675 000 грн — Марічка більше на ≈ 5000 грн.
3) Відсоткове зростання вигідніше, коли початкова сума більша.

Відповідь:

1) Павло на ≈ 27 000 грн; 2) Марічка на ≈ 5000 грн.

Завдання 20.26

Кількість членів

1) b₁ = 15, q = 2, Sₙ = 945; 2) b₁ = 2, bₙ = 128, Sₙ = 254; 3) q = 3, bₙ = 486, Sₙ = 726.

Розв’язання

1) $15 (2^{n} - 1) = 945$ , $2^{n} = 64$ , n = 6.
2) $254 (q - 1) = 128 q - 2$ , q = 2; $128 = 2 \cdot 2^{n - 1}$ , n = 7.
3) $\frac{1458 - b _{1}}{2} = 726$ , $b_{1} = 6$ ; $3^{n - 1} = 81$ , n = 5.

Відповідь:

6; 7; 5.

Завдання 20.27

Нерівності (повторення)

1) $5 (x - 2) ⩽ x + 26$ ; 2) $2 x^{2} - 3 x - 5 > 0$ .

Розв’язання

1) x ≤ 9; 2) (−∞; −1) ∪ (2,5; +∞).

Відповідь:

Див. кроки.

Завдання 20.28

Сума від’ємних членів −4,8; −4,4; …

Знайдіть суму.

Розв’язання

12 членів: (−4,8 − 0,4) : 2 · 12 = −31,2.

Відповідь:

−31,2.