ГДЗ · Алгебра · 8 клас

Сторінка 82

Алгебра, Істер, 2025 · № 10.26–10.34 · 9 завдань

Повні розв’язки, як у зошиті. Хочеш розібратися самостійно — під кожним завданням є «Пояснення з репетитором».

§ 10. Властивості степеня із цілим показником

Завдання 10.26

Ще дві дії зі степенями

1) $4, 9 m^{3} n^{- 4} : (0, 7 m n^{- 2})$ ; 2) $\frac{7 c ^{- 3}}{x ^{5}} \cdot (- \frac{x ^{7}}{21 c ^{- 1}})$ .

Розв’язання

1) $7 m^{2} n^{- 2}$ .
2) $- \frac{1}{3} c^{- 2} x^{2}$ .

Відповідь:

1) $7 m^{2} n^{- 2}$ ; 2) $- \frac{1}{3} c^{- 2} x^{2}$ .

Завдання 10.27

Без від’ємних показників

1) $(\frac{p ^{- 8} c ^{12}}{m ^{- 4} t ^{15}})^{- 2}$ ; 2) $(\frac{b ^{- 3}}{c ^{5}})^{- 1} \cdot (\frac{b ^{- 2}}{c ^{- 4}})^{3}$ ; 3) $(\frac{7 x ^{- 2}}{3 y ^{- 4}})^{- 2} \cdot 49 x^{- 4} y^{3}$ ; 4) $(\frac{a ^{- 3} b}{4})^{- 2} \cdot (\frac{2}{a ^{- 2} b ^{2}})^{- 3}$ .

Розв’язання

1) $\frac{p ^{16} c ^{- 24}}{m ^{8} t ^{- 30}} = \frac{p ^{16} t ^{30}}{c ^{24} m ^{8}}$ .
2) $b^{3} c^{5} \cdot b^{- 6} c^{12} = \frac{c ^{17}}{b ^{3}}$ .
3) $\frac{9 x ^{4}}{49 y ^{8}} \cdot 49 x^{- 4} y^{3} = \frac{9}{y ^{5}}$ .
4) $16 a^{6} b^{- 2} \cdot \frac{a ^{- 6} b ^{6}}{8} = 2 b^{4}$ .

Відповідь:

1) $\frac{p ^{16} t ^{30}}{c ^{24} m ^{8}}$ ; 2) $\frac{c ^{17}}{b ^{3}}$ ; 3) $\frac{9}{y ^{5}}$ ; 4) $2 b^{4}$ .

Завдання 10.28

Без від’ємних показників (ще)

1) $(\frac{c ^{- 7} a ^{2}}{b ^{- 2} x})^{- 3}$ ; 2) $(\frac{x ^{- 4}}{y ^{2}})^{- 1} \cdot (\frac{x ^{- 3}}{y ^{- 3}})^{2}$ ; 3) $(\frac{5 a ^{- 2}}{2 b ^{- 3}})^{- 2} \cdot 25 a^{- 4} b^{2}$ ; 4) $(\frac{m ^{- 2} n ^{3}}{4})^{- 3} \cdot (\frac{8}{m ^{- 3} n ^{4}})^{- 2}$ .

Розв’язання

1) $\frac{c ^{21} a ^{- 6}}{b ^{6} x ^{- 3}} = \frac{c ^{21} x ^{3}}{a ^{6} b ^{6}}$ .
2) $x^{4} y^{2} \cdot x^{- 6} y^{6} = \frac{y ^{8}}{x ^{2}}$ .
3) $\frac{4 a ^{4}}{25 b ^{6}} \cdot 25 a^{- 4} b^{2} = \frac{4}{b ^{4}}$ .
4) $64 m^{6} n^{- 9} \cdot \frac{m ^{- 6} n ^{8}}{64} = \frac{1}{n}$ .

Відповідь:

1) $\frac{c ^{21} x ^{3}}{a ^{6} b ^{6}}$ ; 2) $\frac{y ^{8}}{x ^{2}}$ ; 3) $\frac{4}{b ^{4}}$ ; 4) $\frac{1}{n}$ .

Завдання 10.29

Степені з показником n

$n$ — ціле. 1) $\frac{2 5 ^{n}}{5 ^{2 n - 3}}$ ; 2) $\frac{1 2 ^{n}}{2 ^{2 n - 1} \cdot 3 ^{n + 1}}$ ; 3) $\frac{a ^{4 n} b ^{2 n - 1}}{a ^{2 n} b ^{3 + 2 n}}$ .

Розв’язання

1) $5^{2 n - 2 n + 3} = 125$ .
2) $2^{2 n - (2 n - 1)} \cdot 3^{n - (n + 1)} = 2 \cdot \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$ .
3) $a^{2 n} b^{- 4} = \frac{a ^{2 n}}{b ^{4}}$ .

Відповідь:

1) $125$ ; 2) $\frac{2}{3}$ ; 3) $\frac{a ^{2 n}}{b ^{4}}$ .

Завдання 10.30

Степені з показником m

$m$ — ціле. 1) $\frac{4 9 ^{m}}{7 ^{2 m - 2}}$ ; 2) $\frac{1 8 ^{m}}{2 ^{m + 2} \cdot 3 ^{2 m - 1}}$ ; 3) $\frac{x ^{9 m} y ^{3 m - 2}}{x ^{3 m} y ^{4 + 3 m}}$ .

Розв’язання

1) $7^{2} = 49$ ; 2) $2^{- 2} \cdot 3^{1} = \frac{3}{4}$ ; 3) $\frac{x ^{6 m}}{y ^{6}}$ .

Відповідь:

1) $49$ ; 2) $\frac{3}{4}$ ; 3) $\frac{x ^{6 m}}{y ^{6}}$ .

Завдання 10.31

Скоротити дріб (степені)

1) $\frac{5 ^{n + 2} - 5 ^{n}}{12}$ ; 2) $\frac{x ^{7} + x ^{10}}{x ^{- 1} + x ^{2}}$ ; 3) $\frac{m ^{- 3} + 5 - m ^{7}}{5 m ^{2} - m ^{9} + m ^{- 1}}$ .

Розв’язання

1) $\frac{5 ^{n} ( 25 - 1 )}{12} = 2 \cdot 5^{n}$ .
2) $\frac{x ^{7} ( 1 + x ^{3} )}{x ^{- 1} ( 1 + x ^{3} )} = x^{8}$ .
3) $\frac{m ^{- 3} ( 1 + 5 m ^{3} - m ^{10} )}{m ^{- 1} ( 5 m ^{3} - m ^{10} + 1 )} = m^{- 2}$ .

Відповідь:

1) $2 \cdot 5^{n}$ ; 2) $x^{8}$ ; 3) $m^{- 2}$ .

Завдання 10.32

Скоротити дріб (степені, ще)

1) $\frac{18}{4 ^{n + 1} - 4 ^{n}}$ ; 2) $\frac{x ^{9} + x ^{5}}{x ^{- 3} + x}$ ; 3) $\frac{b ^{- 5} + 3 - b ^{2}}{3 b ^{3} - b ^{5} + b ^{- 2}}$ .

Розв’язання

1) $\frac{18}{3 \cdot 4 ^{n}} = 6 \cdot 4^{- n}$ .
2) $\frac{x ^{5} ( x ^{4} + 1 )}{x ^{- 3} ( 1 + x ^{4} )} = x^{8}$ .
3) $\frac{b ^{- 5} ( 1 + 3 b ^{5} - b ^{7} )}{b ^{- 2} ( 3 b ^{5} - b ^{7} + 1 )} = b^{- 3}$ .

Відповідь:

1) $6 \cdot 4^{- n}$ ; 2) $x^{8}$ ; 3) $b^{- 3}$ .

Завдання 10.33

Значення не залежить від m і n

1) $\frac{2 ^{m} \cdot 3 ^{n - 1} - 2 ^{m - 1} \cdot 3 ^{n}}{2 ^{m} \cdot 3 ^{n}}$ ; 2) $\frac{7 ^{2 m} \cdot 4 ^{n}}{4 9 ^{m + 1} \cdot 2 ^{2 n - 1} - 4 9 ^{m - 1} \cdot 2 ^{2 n + 1}}$ .

Розв’язання

1) $3^{- 1} - 2^{- 1} = \frac{1}{3} - \frac{1}{2} = - \frac{1}{6}$ .
2) Знаменник $= 7^{2 m} 2^{2 n} (\frac{49}{2} - \frac{2}{49}) = 7^{2 m} 2^{2 n} \cdot \frac{2397}{98}$ .
Вираз $= \frac{98}{2397}$ для будь-яких цілих $m$ , $n$ .

Відповідь:

1) $- \frac{1}{6}$ ; 2) $\frac{98}{2397}$ .

Завдання 10.34

Огірки й помідори

3 кг огірків і 2 кг помідорів коштували 136 грн. Після того як огірки подешевшали на 20 %, а помідори подорожчали на 10 %, за 2 кг огірків і 3 кг помідорів заплатили 144 грн. Знайдіть початкові ціни.

Розв’язання

$3 x + 2 y = 136$ , $1, 6 x + 3, 3 y = 144$ .
З першого $y = 68 - 1, 5 x$ ; $1, 6 x + 224, 4 - 4, 95 x = 144$ , $x = 24$ , $y = 32$ .

Відповідь:

Огірки 24 грн/кг, помідори 32 грн/кг.