ГДЗ · Алгебра · 8 клас

Сторінка 76

Алгебра, Істер, 2025 · № 9.19–9.32 · 14 завдань

Повні розв’язки, як у зошиті. Хочеш розібратися самостійно — під кожним завданням є «Пояснення з репетитором».

§ 9. Степінь із цілим показником

Завдання 9.19

Знак bᵐ

1) $b = 5$ , $m = - 13$ ; 2) $b = - 1$ , $m = - 200$ ; 3) $b = - 3$ , $m = - 41$ .

Розв’язання

1) $5^{- 13} > 0$ ; 2) $(- 1)^{- 200} = 1 > 0$ ; 3) $(- 3)^{- 41} < 0$ .

Відповідь:

1) > 0; 2) > 0; 3) < 0.

Завдання 9.20

Позбутися від’ємних показників

1) $\frac{m ^{2} n ^{2} p ^{- 3}}{c x ^{3} a ^{- 4}}$ ; 2) $\frac{7 ^{0} a ^{- 1} b ^{2}}{5 ^{- 2} x ^{- 3} m ^{- 1}}$ .

Розв’язання

1) $\frac{a ^{4} m ^{2} n ^{2}}{c p ^{3} x ^{3}}$ .
2) $\frac{25 b ^{2} m x ^{3}}{a}$ .

Відповідь:

1) $\frac{a ^{4} m ^{2} n ^{2}}{c p ^{3} x ^{3}}$ ; 2) $\frac{25 b ^{2} m x ^{3}}{a}$ .

Завдання 9.21

Дріб — у вигляді добутку

1) $\frac{3 x ^{2}}{p}$ ; 2) $\frac{15 m}{n ^{2} c ^{3}}$ ; 3) $\frac{2 x}{b ^{5} ( a - b ) ^{2}}$ ; 4) $\frac{( x + y ) ^{7}}{( x - y ) ^{3}}$ .

Розв’язання

1) $3 x^{2} p^{- 1}$ ; 2) $15 m n^{- 2} c^{- 3}$ .
3) $2 x b^{- 5} (a - b)^{- 2}$ ; 4) $(x + y)^{7} (x - y)^{- 3}$ .

Відповідь:

$3 x^{2} p^{- 1}$ ; $15 m n^{- 2} c^{- 3}$ ; $2 x b^{- 5} (a - b)^{- 2}$ ; $(x + y)^{7} (x - y)^{- 3}$ .

Завдання 9.22

Дріб — у вигляді добутку (ще)

1) $\frac{5 m ^{2}}{x}$ ; 2) $\frac{7 c ^{2}}{y ^{7} n ^{5}}$ ; 3) $\frac{p}{c ^{4} ( x - y ) ^{3}}$ ; 4) $\frac{( a + 2 ) ^{5}}{( a - 5 ) ^{2}}$ .

Розв’язання

$5 m^{2} x^{- 1}$ ; $7 c^{2} y^{- 7} n^{- 5}$ ; $p c^{- 4} (x - y)^{- 3}$ ; $(a + 2)^{5} (a - 5)^{- 2}$ .

Відповідь:

$5 m^{2} x^{- 1}$ ; $7 c^{2} y^{- 7} n^{- 5}$ ; $p c^{- 4} (x - y)^{- 3}$ ; $(a + 2)^{5} (a - 5)^{- 2}$ .

Завдання 9.23

Подати у вигляді дробу

1) $m^{- 3} + n^{- 2}$ ; 2) $a b^{- 1} + b a^{- 1} + c^{0}$ ; 3) $(m + n^{- 1}) (m^{- 1} + n)$ ; 4) $(a^{- 1} + b^{- 1}) : (a^{- 2} - b^{- 2})$ .

Розв’язання

1) $\frac{1}{m ^{3}} + \frac{1}{n ^{2}} = \frac{n ^{2} + m ^{3}}{m ^{3} n ^{2}}$ .
2) $\frac{a}{b} + \frac{b}{a} + 1 = \frac{a ^{2} + ab + b ^{2}}{ab}$ .
3) $\frac{mn + 1}{n} \cdot \frac{1 + mn}{m} = \frac{( mn + 1 ) ^{2}}{mn}$ .
4) $\frac{a + b}{ab} : \frac{b ^{2} - a ^{2}}{a ^{2} b ^{2}} = \frac{( a + b ) ab}{( b - a ) ( b + a )} = \frac{ab}{b - a}$ .

Відповідь:

1) $\frac{m ^{3} + n ^{2}}{m ^{3} n ^{2}}$ ; 2) $\frac{a ^{2} + ab + b ^{2}}{ab}$ ; 3) $\frac{( mn + 1 ) ^{2}}{mn}$ ; 4) $\frac{ab}{b - a}$ .

Завдання 9.24

Подати у вигляді дробу (ще)

1) $x y^{- 3} + x^{- 1} y^{2}$ ; 2) $(x^{- 2} - y^{- 2}) : (x^{- 1} - y^{- 1})$ .

Розв’язання

1) $\frac{x}{y ^{3}} + \frac{y ^{2}}{x} = \frac{x ^{2} + y ^{5}}{x y ^{3}}$ .
2) $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{x + y}{x y}$ .

Відповідь:

1) $\frac{x ^{2} + y ^{5}}{x y ^{3}}$ ; 2) $\frac{x + y}{x y}$ .

Завдання 9.25

Обчислити «поверхові» вирази

1) $(1 + (1 - 5^{- 2})^{- 1})^{- 1}$ ; 2) $(1 - (1 + 3^{- 1})^{- 2})^{- 2}$ .

Розв’язання

1) $1 - \frac{1}{25} = \frac{24}{25}$ , обернене $\frac{25}{24}$ ; $1 + \frac{25}{24} = \frac{49}{24}$ ; обернене $\frac{24}{49}$ .
2) $1 + \frac{1}{3} = \frac{4}{3}$ ; $(\frac{4}{3})^{- 2} = \frac{9}{16}$ ; $1 - \frac{9}{16} = \frac{7}{16}$ ; $(\frac{7}{16})^{- 2} = \frac{256}{49}$ .

Відповідь:

1) $\frac{24}{49}$ ; 2) $5 \frac{11}{49}$ .

Завдання 9.26

Сума двох «поверхових» виразів

$(1 + (1 - 3^{- 1})^{- 1})^{- 1} + (1 - (1 + 3^{- 1})^{- 1})^{- 1}$ .

Розв’язання

$1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$ , обернене $\frac{3}{2}$ ; $1 + \frac{3}{2} = \frac{5}{2}$ ; обернене $\frac{2}{5}$ .
$1 + \frac{1}{3} = \frac{4}{3}$ , обернене $\frac{3}{4}$ ; $1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$ ; обернене $4$ .
$\frac{2}{5} + 4 = 4, 4$ .

Відповідь:

4,4.

Завдання 9.27

Спростити вираз

$(1 - x^{- 2}) (1 - \frac{1}{x ^{- 1} - 1} + \frac{1}{x ^{- 1} + 1})$ .

Розв’язання

Дужка: $1 + \frac{x}{x - 1} + \frac{x}{x + 1} = \frac{x ^{2} - 1 + x ^{2} + x + x ^{2} - x}{x ^{2} - 1} = \frac{3 x ^{2} - 1}{x ^{2} - 1}$ .
$1 - x^{- 2} = \frac{x ^{2} - 1}{x ^{2}}$ ; добуток $\frac{3 x ^{2} - 1}{x ^{2}}$ .

Відповідь:

$\frac{3 x ^{2} - 1}{x ^{2}}$ .

Завдання 9.28

Подати у вигляді дробу

1) $\frac{a ^{2} + 2 a}{a ^{2} - 4 a + 4} - \frac{4 a}{a ^{2} - 4 a + 4}$ ; 2) $\frac{3 p}{p ^{2} - 2 p} - \frac{8 - p}{p ^{2} - 2 p}$ .

Розв’язання

1) $\frac{a ^{2} - 2 a}{( a - 2 ) ^{2}} = \frac{a}{a - 2}$ .
2) $\frac{4 p - 8}{p ( p - 2 )} = \frac{4}{p}$ .

Відповідь:

1) $\frac{a}{a - 2}$ ; 2) $\frac{4}{p}$ .

Завдання 9.29

Гроші Сергія та Олексія

Сергій: «Дай мені 2 грн — і грошей у нас стане порівну». Олексій: «Краще ти дай мені 2 грн — і в мене стане вдвічі більше, ніж у тебе». Скільки грошей у кожного?

Розв’язання

$s + 2 = o - 2$ , тобто $o = s + 4$ .
$o + 2 = 2 (s - 2)$ : $s + 6 = 2 s - 4$ , $s = 10$ , $o = 14$ .

Відповідь:

У Сергія 10 грн, в Олексія 14 грн.

Завдання 9.30

У вигляді степеня

1) $a^{5} a^{3}$ ; 2) $b^{7} : b^{3}$ ; 3) $(c^{5})^{4}$ ; 4) $m^{7} m$ ; 5) $t^{10} : t$ ; 6) $(p^{7})^{2}$ .

Розв’язання

$a^{8}$ ; $b^{4}$ ; $c^{20}$ ; $m^{8}$ ; $t^{9}$ ; $p^{14}$ .

Відповідь:

$a^{8}$ ; $b^{4}$ ; $c^{20}$ ; $m^{8}$ ; $t^{9}$ ; $p^{14}$ .

Завдання 9.31

Піднести одночлен до степеня

1) $(m n^{2})^{7}$ ; 2) $(- 2 p^{3})^{2}$ ; 3) $(- 5 c m^{2})^{3}$ ; 4) $(- a^{2} c^{3})^{10}$ .

Розв’язання

$m^{7} n^{14}$ ; $4 p^{6}$ ; $- 125 c^{3} m^{6}$ ; $a^{20} c^{30}$ .

Відповідь:

$m^{7} n^{14}$ ; $4 p^{6}$ ; $- 125 c^{3} m^{6}$ ; $a^{20} c^{30}$ .

Завдання 9.32

Спростити добутки степенів

1) $(5 m^{2} n)^{3} \cdot (0, 2 m^{3} n)^{2}$ ; 2) $(- 0, 1 p^{7} c^{3})^{4} \cdot (10 p c^{2})^{3}$ .

Розв’язання

1) $125 m^{6} n^{3} \cdot 0, 04 m^{6} n^{2} = 5 m^{12} n^{5}$ .
2) $0, 0001 p^{28} c^{12} \cdot 1000 p^{3} c^{6} = 0, 1 p^{31} c^{18}$ .

Відповідь:

1) $5 m^{12} n^{5}$ ; 2) $0, 1 p^{31} c^{18}$ .