ГДЗ · Алгебра · 9 клас

Сторінка 51

Алгебра, Істер О. С., Істер Д. О., 2026 · № 6.47–6.54 · 8 завдань

Повні розв’язки, як у зошиті. Хочеш розібратися самостійно — під кожним завданням є «Пояснення з репетитором».

§ 6. Лінійні нерівності з однією змінною

Завдання 6.47

Системи рівнянь (повторення)

Розв’яжіть: 1) ${x + y = 8 2 x - y = 1$ ; 2) ${3 y - x = 1 2 x + 5 y = 20$ .

Розв’язання

1) Додаємо: $3 x = 9$ , $x = 3$ , $y = 5$ .
2) $x = 3 y - 1$ ; $2 (3 y - 1) + 5 y = 20$ , $11 y = 22$ , $y = 2$ , $x = 5$ .

Відповідь:

1) $(3; 5)$ ; 2) $(5; 2)$ .

Завдання 6.48

Задача про течію

Туристка пропливла 5 км на моторному човні проти течії, а назад повернулася на плоту. Пліт плив на 2 год довше, ніж човен. Власна швидкість човна 12 км/год. Знайдіть швидкість течії.

Розв’язання

$\frac{5}{v} - \frac{5}{12 - v} = 2$ .
$5 (12 - v) - 5 v = 2 v (12 - v) \Rightarrow 2 v^{2} - 34 v + 60 = 0 \Rightarrow v^{2} - 17 v + 30 = 0$ .
$v = 2$ або $v = 15$ ; другий корінь не підходить (тоді човен не зміг би рухатися проти течії).

Відповідь:

2 км/год.

Завдання 6.49

Вираз не залежить від змінної

Доведіть, що значення виразу $(\frac{1}{a ^{2} - 4 a + 4} + \frac{1}{a ^{2} - 4}) : \frac{2}{( a - 2 ) ^{2}} - \frac{a}{a + 2}$ не залежить від $a$ .

Розв’язання

Дужка: $\frac{( a + 2 ) + ( a - 2 )}{( a - 2 ) ^{2} ( a + 2 )} = \frac{2 a}{( a - 2 ) ^{2} ( a + 2 )}$ .
Ділимо: $\frac{2 a}{( a - 2 ) ^{2} ( a + 2 )} \cdot \frac{( a - 2 ) ^{2}}{2} = \frac{a}{a + 2}$ .
Віднімаємо: $\frac{a}{a + 2} - \frac{a}{a + 2} = 0$ — при всіх допустимих $a$ .

Відповідь:

Вираз дорівнює 0 при будь-якому a ≠ ±2.

Завдання 6.50

Кусково-задана функція

Побудуйте графік: $y = 8$ , якщо $x < 1$ ; $y = \frac{8}{x}$ , якщо $1 ⩽ x ⩽ 4$ ; $y = x - 2$ , якщо $x > 4$ .

Розв’язання

При $x < 1$ — горизонтальний промінь $y = 8$ до точки $(1; 8)$ .
На $[1; 4]$ — частина гіперболи: $(1; 8)$ , $(2; 4)$ , $(4; 2)$ .
При $x > 4$ — промінь прямої $y = x - 2$ від точки $(4; 2)$ : $(5; 3)$ , $(6; 4)$ .
Частини з’єднуються без розривів.

Відповідь:

Неперервний графік із трьох частин (див. кроки).

Завдання 6.51

Життєва математика: Київ — Львів

Родина з 4 осіб: квиток на поїзд — 600 грн на особу. Авто витрачає 8 л на 100 км, відстань 540 км, пальне — 55 грн/л. Скільки коштуватиме найдешевший варіант?

Розв’язання

Поїзд: $4 \cdot 600 = 2400$ грн.
Авто: $5, 4 \cdot 8 = 43, 2$ л; $43, 2 \cdot 55 = 2376$ грн.
$2376 < 2400$ .

Відповідь:

2376 грн (на авто).

Завдання 6.52

Перетин проміжків

Знайдіть перетин: 1) $(- \infty; 5]$ і $[3; + \infty)$ ; 2) $(- \infty; 3]$ і $[5; + \infty)$ ; 3) $(- \infty; 3)$ і $(- \infty; 5]$ ; 4) $[3; + \infty)$ і $(5; + \infty)$ .

Розв’язання

1) $[3; 5]$ ; 2) $\emptyset$ ; 3) $(- \infty; 3)$ ; 4) $(5; + \infty)$ .

Відповідь:

1) $[3; 5]$ ; 2) $\emptyset$ ; 3) $(- \infty; 3)$ ; 4) $(5; + \infty)$ .

Завдання 6.53

Спільні розв’язки двох нерівностей

Укажіть три значення $x$ , що є розв’язками обох нерівностей: 1) $x ⩽ 2$ і $x ⩾ - 3$ ; 2) $x > - 5$ і $x > 7$ ; 3) $x < 0$ і $x ⩾ - 7$ ; 4) $x ⩽ 2$ і $x ⩽ 4$ .

Розв’язання

1) $[- 3; 2]$ : $- 3, 0, 2$ .
2) $x > 7$ : $8, 9, 10$ .
3) $[- 7; 0)$ : $- 7, - 3, - 1$ .
4) $x ⩽ 2$ : $2, 0, - 5$ .

Відповідь:

Наприклад: 1) −3, 0, 2; 2) 8, 9, 10; 3) −7, −3, −1; 4) 2, 0, −5.

Завдання 6.54

Цікава задача: баскетбольний чемпіонат

6 команд, кожна зіграла по 4 матчі з кожною іншою, нічиїх немає. П’ять команд мали 80 %, 60 %, 55 %, 40 % і 35 % перемог. Яке місце посіла шоста команда і який у неї відсоток перемог?

Розв’язання

Кожна команда: $5 \cdot 4 = 20$ матчів. Усього матчів: $\frac{6 \cdot 5}{2} \cdot 4 = 60$ , отже 60 перемог.
Перемоги п’яти команд: $16 + 12 + 11 + 8 + 7 = 54$ .
Шоста: $60 - 54 = 6$ перемог, тобто $\frac{6}{20} = 30%$ — найменше серед усіх.

Відповідь:

Шосте місце, 30 % перемог.