ГДЗ · Алгебра · 9 клас

Сторінка 130

Алгебра, Істер О. С., Істер Д. О., 2026 · № 13.12–13.18 · 7 завдань

Повні розв’язки, як у зошиті. Хочеш розібратися самостійно — під кожним завданням є «Пояснення з репетитором».

§ 13. Розв’язування систем рівнянь другого степеня з двома змінними

Завдання 13.12

Спосіб додавання (2)

1) $y + x^{2} = 10$ , $y - x^{2} = - 8$ ; 2) $y^{2} + x = 2$ , $- y^{2} + 2 x = 7$ .

Розв’язання

1) $2 y = 2$ , $y = 1$ , $x^{2} = 9$ : (3; 1), (−3; 1).
2) $3 x = 9$ , $x = 3$ , $y^{2} = - 1$ — розв’язків немає.

Відповідь:

(3; 1), (−3; 1) | немає.

Завдання 13.13

Три способи і медалі Андрія Трусова

1) Розв’яжіть $x + y = 5$ , $x^{2} + y = 7$ трьома способами. 3) Знайдіть $\frac{x _{1} + y _{1} + x _{2} + y _{2}}{2}$ — кількість медалей Андрія Трусова на Паралімпіаді 2024.

Розв’язання

Графічно: пряма y = 5 − x і парабола y = 7 − x² перетинаються в (−1; 6) і (2; 3).
Підстановка: $x^{2} + 5 - x = 7$ , $x^{2} - x - 2 = 0$ : x = −1 або 2.
Додавання (віднімання): $x^{2} - x = 2$ — те саме рівняння.
3) (−1 + 6 + 2 + 3) : 2 = 5.

Відповідь:

(−1; 6), (2; 3); 5 медалей.

Завдання 13.14

Три способи і Ольга Броварець

1) Розв’яжіть $y - x = 8$ , $x^{2} - y = - 2$ . 3) Знайдіть $x_{1} y_{1} + x_{2} y_{2} + 8$ — вік, у якому Ольга Броварець стала докторкою наук.

Розв’язання

Додавши: $x^{2} - x = 6$ , $x^{2} - x - 6 = 0$ : x = 3 або −2; y = x + 8.
Розв’язки (−2; 6) і (3; 11) (графічно — перетин прямої y = x + 8 і параболи y = x² + 2).
3) −12 + 33 + 8 = 29.

Відповідь:

(−2; 6), (3; 11); 29 років.

Завдання 13.15

Графічно (3)

1) $x^{2} + 4 x - y = 0$ , $x + y + 4 = 0$ ; 2) $x^{2} + y^{2} = 4$ , $y = x^{2} + 2$ .

Розв’язання

1) Парабола $y = x^{2} + 4 x$ (вершина (−2; −4)) і пряма $y = - x - 4$ : (−4; 0), (−1; −3).
2) Парабола y = x² + 2 торкається кола радіуса 2 у вершині: (0; 2).

Відповідь:

(−4; 0), (−1; −3) | (0; 2).

Завдання 13.16

Графічно (4)

1) $x^{2} + 6 x - y = 0$ , $x + y + 6 = 0$ ; 2) $x^{2} + y^{2} = 9$ , $y = x^{2} + 3$ .

Розв’язання

1) (−6; 0), (−1; −5).
2) (0; 3).

Відповідь:

(−6; 0), (−1; −5) | (0; 3).

Завдання 13.17

Кількість розв’язків

1) $x y = - 4$ , $y - x^{2} = 2$ ; 2) $x^{2} + y^{2} = 9$ , $x y = 1$ .

Розв’язання

1) Парабола $y = x^{2} + 2$ лежить вище за y = 2 і перетинає лише гілку гіперболи $y = - \frac{4}{x}$ у II чверті — один розв’язок.
2) Гіпербола $y = \frac{1}{x}$ перетинає коло радіуса 3 у чотирьох точках (по дві на кожній гілці).

Відповідь:

1) один; 2) чотири.

Завдання 13.18

Підстановка (складніші) (1)

1) $4 y^{2} + x y = 22$ , $x + 5 y = 13$ ; 2) $x^{2} + y^{2} = 25$ , $x + \frac{y}{2} = 5$ ; 3) $x + 2 y = 6$ , $x^{2} + x y + y^{2} = 12$ ; 4) $x - y = 1$ , $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{7}{12}$ .

Розв’язання

1) $x = 13 - 5 y$ : $y^{2} - 13 y + 22 = 0$ , y = 2 або 11: (3; 2), (−42; 11).
2) $x = 5 - \frac{y}{2}$ : $\frac{5}{4} y^{2} - 5 y = 0$ , y = 0 або 4: (5; 0), (3; 4).
3) $x = 6 - 2 y$ : $3 y^{2} - 18 y + 24 = 0$ , y = 2 або 4: (2; 2), (−2; 4).
4) $x = y + 1$ : $12 (2 y + 1) = 7 y (y + 1)$ , $7 y^{2} - 17 y - 12 = 0$ , y = 3 або $- \frac{4}{7}$ : (4; 3), $(\frac{3}{7}; - \frac{4}{7})$ .

Відповідь:

Див. кроки.