ГДЗ · Алгебра · 9 клас

Сторінка 131

Алгебра, Істер О. С., Істер Д. О., 2026 · № 13.19–13.25 · 7 завдань

Повні розв’язки, як у зошиті. Хочеш розібратися самостійно — під кожним завданням є «Пояснення з репетитором».

§ 13. Розв’язування систем рівнянь другого степеня з двома змінними

Завдання 13.19

Підстановка (складніші) (2)

1) $3 y^{2} - x y = 2$ , $x - 2 y = 1$ ; 2) $x^{2} + y^{2} = 13$ , $\frac{x}{3} + y = 3$ ; 3) $x + 2 y = 1$ , $x^{2} - x y - y^{2} = 11$ ; 4) $x + y = 5$ , $\frac{1}{x} - \frac{1}{y} = \frac{1}{6}$ .

Розв’язання

1) $x = 2 y + 1$ : $y^{2} - y - 2 = 0$ : (5; 2), (−1; −1).
2) $x = 9 - 3 y$ : $10 y^{2} - 54 y + 68 = 0$ , y = 2 або 3,4: (3; 2), (−1,2; 3,4).
3) $x = 1 - 2 y$ : $5 y^{2} - 5 y - 10 = 0$ , y = −1 або 2: (3; −1), (−3; 2).
4) $y = 5 - x$ : $6 (5 - 2 x) = x (5 - x)$ , $x^{2} - 17 x + 30 = 0$ : (2; 3), (15; −10).

Відповідь:

Див. кроки.

Завдання 13.20

Точки перетину без побудови

1) Пряма $x + y = 5$ і парабола $y = x^{2} - 7$ ; 2) коло $x^{2} + y^{2} = 34$ і гіпербола $x y = 15$ .

Розв’язання

1) $5 - x = x^{2} - 7$ , $x^{2} + x - 12 = 0$ : (3; 2), (−4; 9).
2) $x + y = \pm 8$ , $x - y = \pm 2$ : (5; 3), (3; 5), (−3; −5), (−5; −3).

Відповідь:

Див. кроки.

Завдання 13.21

Системи з xy (1)

1) $x + x y = 5$ , $x - x y = 2$ ; 2) $x^{2} + y^{2} = 29$ , $x^{2} - y^{2} = - 21$ ; 3) $2 y^{2} + x y = 36$ , $y^{2} + x y = 20$ ; 4) $x^{2} - x y = - 4$ , $3 x^{2} - 2 x y = - 7$ .

Розв’язання

1) $2 x = 7$ , $x = 3, 5$ , $x y = 1, 5$ , $y = \frac{3}{7}$ : $(3, 5; \frac{3}{7})$ .
2) $2 x^{2} = 8$ , $x = \pm 2$ ; $y^{2} = 25$ , $y = \pm 5$ : (2; 5), (2; −5), (−2; 5), (−2; −5).
3) $y^{2} = 16$ ; $y = 4$ : x = 1; $y = - 4$ : x = −1: (1; 4), (−1; −4).
4) Від другого відняти подвоєне перше: $x^{2} = 1$ ; x = 1: y = 5; x = −1: y = −5.

Відповідь:

Див. кроки.

Завдання 13.22

Системи з xy (2)

1) $y + x y = 3$ , $y - x y = - 2$ ; 2) $3 y^{2} + x^{2} = 13$ , $3 y^{2} - x^{2} = 11$ ; 3) $3 x^{2} - x y = 10$ , $x^{2} - x y = 2$ ; 4) $x y + 2 y^{2} = - 1$ , $3 x y + y^{2} = - 8$ .

Розв’язання

1) $2 y = 1$ , $y = \frac{1}{2}$ , $x y = 2, 5$ , $x = 5$ : $(5; \frac{1}{2})$ .
2) $6 y^{2} = 24$ , $y = \pm 2$ ; $x^{2} = 1$ : (±1; ±2) — чотири пари.
3) $2 x^{2} = 8$ , $x = \pm 2$ : (2; 1), (−2; −1).
4) Помножимо перше на 3 і віднімемо друге: $5 y^{2} = 5$ ; y = 1: x = −3; y = −1: x = 3.

Відповідь:

Див. кроки.

Завдання 13.23

Системи з доданком xy (1)

1) $2 x y - x = 10$ , $2 x y - y = 9$ ; 2) $2 x - x y - y = 13$ , $x + x y - 2 y = 2$ .

Розв’язання

1) Віднімемо: $y - x = 1$ ; $2 x (x + 1) - x = 10$ , $2 x^{2} + x - 10 = 0$ : (2; 3), (−2,5; −1,5).
2) Додамо: $3 x - 3 y = 15$ , $x = y + 5$ ; $y + 5 + y (y + 5) - 2 y = 2$ , $y^{2} + 4 y + 3 = 0$ : (4; −1), (2; −3).

Відповідь:

Див. кроки.

Завдання 13.24

Системи з доданком xy (2)

1) $3 x y + x = 8$ , $3 x y + y = 7$ ; 2) $x + x y + 2 y = - 9$ , $2 x - x y - y = - 2$ .

Розв’язання

1) $x - y = 1$ ; $3 y (y + 1) + y + 1 = 8$ , $3 y^{2} + 4 y - 7 = 0$ : (2; 1), $(- \frac{4}{3}; - \frac{7}{3})$ .
2) Додамо: $3 x + y = - 11$ , $y = - 11 - 3 x$ . Підставимо в перше: $x - 11 x - 3 x^{2} - 22 - 6 x = - 9$ , тобто $3 x^{2} + 16 x + 13 = 0$ , $D = 100$ : x = −1 або $- \frac{13}{3}$ ; (−1; −8), $(- \frac{13}{3}; 2)$ .

Відповідь:

Див. кроки.

Завдання 13.25

Заміна змінних (1)

1) $x + y + x y = 5$ , $x y (x + y) = 6$ ; 2) $\frac{x}{y} + \frac{y}{x} = \frac{13}{6}$ , $x - y = 1$ ; 3) $(x + y)^{2} - 2 (x + y) + 1 = 0$ , $(x - y)^{2} + 3 (x - y) - 4 = 0$ ; 4) $\frac{x - 2 y}{x + y} - \frac{x + y}{x - 2 y} = \frac{15}{4}$ , $4 x + 5 y = 3$ .

Розв’язання

1) $u = x + y$ , $v = x y$ : $u + v = 5$ , $uv = 6$ → (2; 3) або (3; 2). $u = 2$ , $v = 3$ — дійсних розв’язків немає; $u = 3$ , $v = 2$ : (1; 2), (2; 1).
2) $t = \frac{x}{y}$ : $t + \frac{1}{t} = \frac{13}{6}$ , $t = \frac{3}{2}$ або $\frac{2}{3}$ . З $x - y = 1$ : (3; 2), (−2; −3).
3) $(x + y - 1)^{2} = 0$ , $x + y = 1$ ; $x - y = 1$ або $- 4$ : (1; 0), (−1,5; 2,5).
4) $t = \frac{x - 2 y}{x + y}$ : $t - \frac{1}{t} = \frac{15}{4}$ , $t = 4$ або $- \frac{1}{4}$ . $x - 2 y = 4 (x + y)$ : $x = - 2 y$ , з $4 x + 5 y = 3$ : (2; −1). $4 (x - 2 y) = - (x + y)$ : $5 x = 7 y$ : $(\frac{21}{53}; \frac{15}{53})$ .

Відповідь:

Див. кроки.