ГДЗ · Алгебра · 8 клас

Сторінка 94

Алгебра, Істер, 2025 · № 12.12–12.22 · 11 завдань

Повні розв’язки, як у зошиті. Хочеш розібратися самостійно — під кожним завданням є «Пояснення з репетитором».

§ 12. Функція y = k/x, її графік і властивості

Завдання 12.12

Графіки через A(4; −3) (усно)

1) $y = \frac{12}{x}$ ; 2) $y = - \frac{12}{x}$ ; 3) $y = - \frac{24}{x}$ ; 4) $y = x - 7$ .

Розв’язання

1) $3$ — ні; 2) $- 3$ — так; 3) $- 6$ — ні; 4) $4 - 7 = - 3$ — так.

Відповідь:

2) і 4).

Завдання 12.13

Цукерки на 145 грн

На 145 грн придбали y кг цукерок по x грн за кілограм. Запишіть формулу. Чи це обернена пропорційність?

Розв’язання

$x y = 145$ , тобто $y = \frac{145}{x}$ ( $x > 0$ ).
Так, це обернена пропорційність з k = 145.

Відповідь:

y = 145/x — так.

Завдання 12.14

За графіком y = 10/x

Для $y = \frac{10}{x}$ знайдіть: 1) $y$ при $x = - 2; 2, 5; - 1$ ; 2) $x$ , при яких $y = 10; - 4; 2$ ; 3) $x$ , при яких $y < 0$ і $y > 0$ .

Розв’язання

1) $- 5$ ; $4$ ; $- 10$ .
2) $x = 1$ ; $x = - 2, 5$ ; $x = 5$ .
3) $y < 0$ при $x < 0$ ; $y > 0$ при $x > 0$ .

Відповідь:

1) −5; 4; −10; 2) 1; −2,5; 5; 3) y < 0 при x < 0, y > 0 при x > 0.

Завдання 12.15

За графіком y = −4/x

Для $y = - \frac{4}{x}$ знайдіть: 1) $y$ при $x = - 0, 5; 2; - 4$ ; 2) $x$ , при яких $y = 4; - 1; 2$ ; 3) коли $y < 0$ і $y > 0$ .

Розв’язання

1) $8$ ; $- 2$ ; $1$ .
2) $x = - 1$ ; $x = 4$ ; $x = - 2$ .
3) $y < 0$ при $x > 0$ ; $y > 0$ при $x < 0$ .

Відповідь:

1) 8; −2; 1; 2) −1; 4; −2; 3) y < 0 при x > 0, y > 0 при x < 0.

Завдання 12.16

Формула за точкою M(−4; 12)

Графік оберненої пропорційності проходить через M(−4; 12). Задайте функцію.

Розв’язання

$k = - 4 \cdot 12 = - 48$ , тож $y = - \frac{48}{x}$ .

Відповідь:

y = −48/x.

Завдання 12.17

Формула за точкою P(12; 1 1/6)

Графік проходить через $P (12; 1 \frac{1}{6})$ . Запишіть формулу.

Розв’язання

$k = 12 \cdot \frac{7}{6} = 14$ , тож $y = \frac{14}{x}$ .

Відповідь:

y = 14/x.

Завдання 12.18

Область значень на відрізку

$y = \frac{8}{x}$ при $1 ⩽ x ⩽ 4$ . Запишіть область значень.

Розв’язання

$y (1) = 8$ , $y (4) = 2$ ; функція спадає, тож набуває всіх значень між ними.

Відповідь:

[2; 8].

Завдання 12.19

Розв’язати графічно (1)

1) $\frac{8}{x} = 2$ ; 2) $2 x = \frac{18}{x}$ ; 3) $- \frac{4}{x} = 3 - x$ .

Розв’язання

1) Пряма $y = 2$ перетинає $y = \frac{8}{x}$ у точці $(4; 2)$ : $x = 4$ .
2) $y = 2 x$ і $y = \frac{18}{x}$ перетинаються в $(3; 6)$ і $(- 3; - 6)$ : $x = \pm 3$ .
3) $y = - \frac{4}{x}$ і $y = 3 - x$ перетинаються в $(4; - 1)$ і $(- 1; 4)$ . Перевірка: $- \frac{4}{4} = - 1 = 3 - 4$ , $- \frac{4}{- 1} = 4 = 3 + 1$ .

Відповідь:

1) 4; 2) ±3; 3) −1; 4.

Завдання 12.20

Розв’язати графічно (2)

1) $\frac{6}{x} = 3$ ; 2) $\frac{4}{x} = x$ ; 3) $4 - x = - \frac{5}{x}$ .

Розв’язання

1) $x = 2$ (точка $(2; 3)$ ).
2) $x = \pm 2$ (точки $(2; 2)$ , $(- 2; - 2)$ ).
3) Точки $(5; - 1)$ і $(- 1; 5)$ : $x = 5$ або $x = - 1$ (перевірка: $4 - 5 = - 1 = - \frac{5}{5}$ ; $4 + 1 = 5 = - \frac{5}{- 1}$ ).

Відповідь:

1) 2; 2) ±2; 3) −1; 5.

Завдання 12.21

Графіки з модулем

1) $y = \frac{4}{∣ x ∣}$ ; 2) $y = - \frac{8}{∣ x ∣}$ .

Розв’язання

1) При $x > 0$ : $y = \frac{4}{x}$ (вітка в I чверті); при $x < 0$ : $y = - \frac{4}{x}$ (вітка в II чверті). Графік симетричний відносно осі $y$ .
2) При $x > 0$ : $y = - \frac{8}{x}$ (IV чверть); при $x < 0$ : $y = \frac{8}{x}$ (III чверть).

Відповідь:

1) вітки в I і II чвертях; 2) у III і IV.

Завдання 12.22

Кусково задана функція (1)

$y = - \frac{6}{x}$ при $x ⩽ - 2$ ; $y = - 1, 5 x$ при $- 2 < x < 2$ ; $y = - \frac{6}{x}$ при $x ⩾ 2$ .

Розв’язання

Ліворуч: частина гіперболи від точки $(- 2; 3)$ (наприклад, $(- 3; 2)$ , $(- 6; 1)$ ).
Посередині: відрізок прямої $y = - 1, 5 x$ від $(- 2; 3)$ до $(2; - 3)$ (кінці не включаються, але їх «закривають» сусідні частини).
Праворуч: частина гіперболи від $(2; - 3)$ через $(3; - 2)$ , $(6; - 1)$ . Графік неперервний.

Відповідь:

Неперервна крива: дві частини гіперболи й відрізок прямої між ними.