ГДЗ · Алгебра · 8 клас

Сторінка 30

Алгебра, Істер, 2025 · № 3.21–3.28 · 8 завдань

Повні розв’язки, як у зошиті. Хочеш розібратися самостійно — під кожним завданням є «Пояснення з репетитором».

§ 3. Додавання і віднімання дробів з однаковими знаменниками

Завдання 3.21

Степені протилежних двочленів

1) $\frac{7 - 4 m}{( 2 - m ) ^{2}} - \frac{9 - 5 m}{( m - 2 ) ^{2}}$ ; 2) $\frac{12 a}{( 2 - a ) ^{3}} + \frac{3 a ^{2} + 12}{( a - 2 ) ^{3}}$ ; 3) $\frac{m ^{2} - 6 n}{( m - 2 ) ( n - 3 )} - \frac{2 ( m - 3 n )}{( 2 - m ) ( 3 - n )}$ .

Розв’язання

1) $(2 - m)^{2} = (m - 2)^{2}$ : $\frac{7 - 4 m - 9 + 5 m}{( m - 2 ) ^{2}} = \frac{m - 2}{( m - 2 ) ^{2}} = \frac{1}{m - 2}$ .
2) $(2 - a)^{3} = - (a - 2)^{3}$ : $\frac{3 a ^{2} - 12 a + 12}{( a - 2 ) ^{3}} = \frac{3 ( a - 2 ) ^{2}}{( a - 2 ) ^{3}} = \frac{3}{a - 2}$ .
3) Знаменники однакові: $\frac{m ^{2} - 6 n - 2 m + 6 n}{( m - 2 ) ( n - 3 )} = \frac{m ( m - 2 )}{( m - 2 ) ( n - 3 )} = \frac{m}{n - 3}$ .

Відповідь:

1) $\frac{1}{m - 2}$ ; 2) $\frac{3}{a - 2}$ ; 3) $\frac{m}{n - 3}$ .

Завдання 3.22

Степені протилежних двочленів (ще)

1) $\frac{16 - 7 a}{( 3 - a ) ^{2}} - \frac{13 - 6 a}{( a - 3 ) ^{2}}$ ; 2) $\frac{15 ( 2 m - 3 )}{( 3 - m ) ^{3}} + \frac{5 m ^{2}}{( m - 3 ) ^{3}}$ ; 3) $\frac{p ^{2} - 9 q}{( p - 3 ) ( q - 4 )} - \frac{3 ( p - 3 q )}{( 3 - p ) ( 4 - q )}$ .

Розв’язання

1) $\frac{16 - 7 a - 13 + 6 a}{( a - 3 ) ^{2}} = \frac{3 - a}{( a - 3 ) ^{2}} = - \frac{1}{a - 3}$ .
2) $\frac{- 30 m + 45 + 5 m ^{2}}{( m - 3 ) ^{3}} = \frac{5 ( m - 3 ) ^{2}}{( m - 3 ) ^{3}} = \frac{5}{m - 3}$ .
3) $\frac{p ^{2} - 9 q - 3 p + 9 q}{( p - 3 ) ( q - 4 )} = \frac{p ( p - 3 )}{( p - 3 ) ( q - 4 )} = \frac{p}{q - 4}$ .

Відповідь:

1) $\frac{1}{3 - a}$ ; 2) $\frac{5}{m - 3}$ ; 3) $\frac{p}{q - 4}$ .

Завдання 3.23

Подати у вигляді многочлена

1) $(a - 1) (a + 3)^{2}$ ; 2) $(x - 4)^{2} (x + 2)$ .

Розв’язання

1) $(a - 1) (a^{2} + 6 a + 9) = a^{3} + 6 a^{2} + 9 a - a^{2} - 6 a - 9 = a^{3} + 5 a^{2} + 3 a - 9$ .
2) $(x^{2} - 8 x + 16) (x + 2) = x^{3} + 2 x^{2} - 8 x^{2} - 16 x + 16 x + 32 = x^{3} - 6 x^{2} + 32$ .

Відповідь:

1) $a^{3} + 5 a^{2} + 3 a - 9$ ; 2) $x^{3} - 6 x^{2} + 32$ .

Завдання 3.24

Скоротити дріб із трьома змінними

Скоротіть $\frac{x ^{2} + y ^{2} - z ^{2} - 2 x y}{x ^{2} - y ^{2} + z ^{2} + 2 x z}$ .

Розв’язання

Чисельник: $(x - y)^{2} - z^{2} = (x - y - z) (x - y + z)$ .
Знаменник: $(x + z)^{2} - y^{2} = (x + z - y) (x + z + y)$ .
Спільний множник $x - y + z$ : $\frac{x - y - z}{x + y + z}$ .

Відповідь:

$\frac{x - y - z}{x + y + z}$ .

Завдання 3.25

Різні знаменники (числа)

1) $\frac{1}{7} + \frac{5}{14}$ ; 2) $\frac{5}{12} - \frac{3}{16}$ ; 3) $\frac{1}{8} - \frac{3}{16} + \frac{7}{24}$ .

Розв’язання

1) $\frac{2}{14} + \frac{5}{14} = \frac{7}{14} = \frac{1}{2}$ .
2) $\frac{20}{48} - \frac{9}{48} = \frac{11}{48}$ .
3) $\frac{6}{48} - \frac{9}{48} + \frac{14}{48} = \frac{11}{48}$ .

Відповідь:

1) $\frac{1}{2}$ ; 2) $\frac{11}{48}$ ; 3) $\frac{11}{48}$ .

Завдання 3.26

Одночлен як добуток

Подайте $15 a^{3} b^{7}$ як добуток двох одночленів, один із яких: 1) $3 a b^{5}$ ; 2) $- 5 a^{2} b^{7}$ ; 3) $- b^{6}$ ; 4) $15 ab$ .

Розв’язання

1) $3 a b^{5} \cdot 5 a^{2} b^{2}$ ; 2) $- 5 a^{2} b^{7} \cdot (- 3 a)$ .
3) $- b^{6} \cdot (- 15 a^{3} b)$ ; 4) $15 ab \cdot a^{2} b^{6}$ .

Відповідь:

1) $5 a^{2} b^{2}$ ; 2) $- 3 a$ ; 3) $- 15 a^{3} b$ ; 4) $a^{2} b^{6}$ .

Завдання 3.27

Швидкість води в стовбурі акації

За 5 год після поливу вода піднялася стовбуром білої акації на 7 м 20 см. Знайдіть швидкість руху води. Дізнайтеся про користь акації.

Розв’язання

$720 : 5 = 144$ см/год $= 1, 44$ м/год.
Це $144 : 60 = 2, 4$ см за хвилину.
Про користь: біла акація (робінія) — чудовий медонос (акацієвий мед), має дуже тверду й стійку деревину, збагачує ґрунт азотом і закріплює схили. Але її кора й насіння отруйні.

Відповідь:

1,44 м/год (2,4 см/хв).

Завдання 3.28

Олімпіадна: добуток різниць парний

Числа $b_{1}, \dots, b_{7}$ — ті самі цілі числа $a_{1}, \dots, a_{7}$ в іншому порядку. Доведіть, що $(a_{1} - b_{1}) (a_{2} - b_{2}) \dots (a_{7} - b_{7})$ — парне.

Розв’язання

Сума різниць: $(a_{1} + \dots + a_{7}) - (b_{1} + \dots + b_{7}) = 0$ , бо це ті самі числа.
Якби всі сім різниць були непарними, їхня сума (сім непарних доданків) була б непарною, а не 0.
Отже, хоча б одна різниця парна, тож і весь добуток парний.

Відповідь:

Доведено: серед різниць обов’язково є парна.