Завдання 2.54, § 1. Розв’язування трикутників — ГДЗ Геометрія 9 клас Мерзляк А. Г.

Завдання 2.54

Доведення формули медіани

Довести, що в трикутнику зі сторонами $a$ , $b$ і $c$ виконується рівність $m_{c} = \frac{1}{2} 2 a^{2} + 2 b^{2} - c^{2}$ , де $m_{c}$ — медіана до сторони $c$ .

Розв’язання

Позначимо вершини трикутника як $A, B, C$ , де $A C = b$ , $B C = a$ , $A B = c$ . Нехай $C D = A D = m_{c}$ — медіана до сторони $c$ . Розглянемо трикутники $A D C$ та $B D C$ .
За теоремою косинусів для $△ A D C$ : $b^{2} = m_{c}^{2} + a^{2} - 2 m_{c} \cdot a cos (∠ B C D)$ . Це не зручно. Краще застосувати до сторони $c$ як до суми векторів або розбити на два трикутники навколо медіани. Нехай $D$ — середина $A B$ . Розглянемо $△ A D C$ та $△ B D C$ .
Позначимо $∠ A D C = α$ , тоді $∠ B D C = 18 0^{\circ} - α$ . Застосуємо теорему косинусів до сторони $b$ ( $A C$ ) у $△ A D C$ : $b^{2} = m_{c}^{2} + a^{2} - 2 m_{c} \cdot a cos (∠ A C D)$ — ні, це неправильно. Правильно: $b^{2} = A D^{2} + C D^{2} - 2 A D \cdot C D cos α = m_{c}^{2} + m_{c}^{2} - 2 m_{c}^{2} cos α = 2 m_{c}^{2} (1 - cos α)$ . Аналогічно для $△ B D C$ : $a^{2} = B D^{2} + C D^{2} - 2 B D \cdot C D cos (18 0^{\circ} - α) = m_{c}^{2} + m_{c}^{2} - 2 m_{c}^{2} (- cos α) = 2 m_{c}^{2} (1 + cos α)$ .
Складемо рівність $a^{2} + b^{2}$ : $(a^{2} + b^{2}) = 2 m_{c}^{2} (1 - cos α) + 2 m_{c}^{2} (1 + cos α) = 2 m_{c}^{2} - 2 m_{c}^{2} cos α + 2 m_{c}^{2} + 2 m_{c}^{2} cos α = 4 m_{c}^{2}$ .
Отже, $a^{2} + b^{2} = 4 m_{c}^{2}$ , звідки $m_{c}^{2} = \frac{a ^{2} + b ^{2}}{4}$ . Але в умові формула інша. Перевіримо умову: $m_{c} = \frac{1}{2} 2 a^{2} + 2 b^{2} - c^{2}$ . Тоді $4 m_{c}^{2} = 2 a^{2} + 2 b^{2} - c^{2}$ . Отже, треба використати теорему косинусів для сторони $c$ у $△ A B C$ : $c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 ab cos C$ . Це не допомагає без зв'язку з медіаною.
Використаємо формулу для квадрата медіани: $4 m_{c}^{2} = 2 a^{2} + 2 b^{2} - c^{2}$ . Це відомий факт, який треба довести. Знову розглянемо $△ A D C$ і $△ B D C$ . Нехай $C D = m_{c}$ , $A D = B D = c /2$ .
У $△ A D C$ : $b^{2} = m_{c}^{2} + (c /2)^{2} - 2 m_{c} (c /2) cos α$ . У $△ B D C$ : $a^{2} = m_{c}^{2} + (c /2)^{2} - 2 m_{c} (c /2) cos (18 0^{\circ} - α) = m_{c}^{2} + c^{2} /4 + m_{c} c cos α$ .
Додамо ці рівняння: $a^{2} + b^{2} = 2 m_{c}^{2} + c^{2} /2$ . Звідси $2 m_{c}^{2} = a^{2} + b^{2} - c^{2} /2$ , тобто $4 m_{c}^{2} = 2 a^{2} + 2 b^{2} - c^{2}$ .
Отже, $m_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{4} = \frac{1}{2} 2 a^{2} + 2 b^{2} - c^{2}$ .

Відповідь:

Доведено, що $m_{c} = \frac{1}{2} 2 a^{2} + 2 b^{2} - c^{2}$ .

Розбір зрозумілий?

§ 1. Розв’язування трикутників Завдання 2.54 с. 28

Доведення формули медіани

Умова

Що треба знати

Медіана ділить трикутник на два менші трикутники. Застосовуючи теорему косинусів до обох цих трикутників і враховуючи, що кут при основі медіани та протилежний йому кут є вертикальними (або використовуючи властивість $cos (18 0^{\circ} - α) = - cos α$ ), можна виразити квадрат сторони $c$ через квадрати інших сторін і медіани.

💡 Підказка — спробуй спершу сам

Розгляньте трикутники $A B D$ та $C B D$ , де $C D = A D = m_{c}$ . Позначте кут $∠ A D B = α$ , тоді $∠ C D B = 18 0^{\circ} - α$ . Запишіть рівняння для сторони $c^{2}$ в обох трикутниках через косинуси цих кутів.

Розв’язання крок за кроком

Позначимо вершини трикутника як $A, B, C$ , де $A C = b$ , $B C = a$ , $A B = c$ . Нехай $C D = A D = m_{c}$ — медіана до сторони $c$ . Розглянемо трикутники $A D C$ та $B D C$ .
За теоремою косинусів для $△ A D C$ : $b^{2} = m_{c}^{2} + a^{2} - 2 m_{c} \cdot a cos (∠ B C D)$ . Це не зручно. Краще застосувати до сторони $c$ як до суми векторів або розбити на два трикутники навколо медіани. Нехай $D$ — середина $A B$ . Розглянемо $△ A D C$ та $△ B D C$ .
Позначимо $∠ A D C = α$ , тоді $∠ B D C = 18 0^{\circ} - α$ . Застосуємо теорему косинусів до сторони $b$ ( $A C$ ) у $△ A D C$ : $b^{2} = m_{c}^{2} + a^{2} - 2 m_{c} \cdot a cos (∠ A C D)$ — ні, це неправильно. Правильно: $b^{2} = A D^{2} + C D^{2} - 2 A D \cdot C D cos α = m_{c}^{2} + m_{c}^{2} - 2 m_{c}^{2} cos α = 2 m_{c}^{2} (1 - cos α)$ . Аналогічно для $△ B D C$ : $a^{2} = B D^{2} + C D^{2} - 2 B D \cdot C D cos (18 0^{\circ} - α) = m_{c}^{2} + m_{c}^{2} - 2 m_{c}^{2} (- cos α) = 2 m_{c}^{2} (1 + cos α)$ .
Складемо рівність $a^{2} + b^{2}$ : $(a^{2} + b^{2}) = 2 m_{c}^{2} (1 - cos α) + 2 m_{c}^{2} (1 + cos α) = 2 m_{c}^{2} - 2 m_{c}^{2} cos α + 2 m_{c}^{2} + 2 m_{c}^{2} cos α = 4 m_{c}^{2}$ .
Отже, $a^{2} + b^{2} = 4 m_{c}^{2}$ , звідки $m_{c}^{2} = \frac{a ^{2} + b ^{2}}{4}$ . Але в умові формула інша. Перевіримо умову: $m_{c} = \frac{1}{2} 2 a^{2} + 2 b^{2} - c^{2}$ . Тоді $4 m_{c}^{2} = 2 a^{2} + 2 b^{2} - c^{2}$ . Отже, треба використати теорему косинусів для сторони $c$ у $△ A B C$ : $c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 ab cos C$ . Це не допомагає без зв'язку з медіаною.
Використаємо формулу для квадрата медіани: $4 m_{c}^{2} = 2 a^{2} + 2 b^{2} - c^{2}$ . Це відомий факт, який треба довести. Знову розглянемо $△ A D C$ і $△ B D C$ . Нехай $C D = m_{c}$ , $A D = B D = c /2$ .
У $△ A D C$ : $b^{2} = m_{c}^{2} + (c /2)^{2} - 2 m_{c} (c /2) cos α$ . У $△ B D C$ : $a^{2} = m_{c}^{2} + (c /2)^{2} - 2 m_{c} (c /2) cos (18 0^{\circ} - α) = m_{c}^{2} + c^{2} /4 + m_{c} c cos α$ .
Додамо ці рівняння: $a^{2} + b^{2} = 2 m_{c}^{2} + c^{2} /2$ . Звідси $2 m_{c}^{2} = a^{2} + b^{2} - c^{2} /2$ , тобто $4 m_{c}^{2} = 2 a^{2} + 2 b^{2} - c^{2}$ .
Отже, $m_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{4} = \frac{1}{2} 2 a^{2} + 2 b^{2} - c^{2}$ .

Відповідь:

Доведено, що $m_{c} = \frac{1}{2} 2 a^{2} + 2 b^{2} - c^{2}$ .

Розбір зрозумілий?