Довести, що якщо довжини двох сторін трикутника не змінювати, а збільшити кут між ними, то третя сторона також збільшиться. Обґрунтувати це за допомогою теореми косинусів.
Розв’язання
Запишемо теорему косинусів для сторони c: c2=a2+b2−2abcosγ.
Розглянемо функцію косинуса на інтервалі (0∘;180∘). Вона є спадаючою: коли кут γ збільшується, значення cosγ зменшується (від +1 до −1).
Оскільки коефіцієнт −2ab від'ємний (припустимо, сторони додатні), то при зменшенні cosγ добуток −2abcosγ збільшується (стає менш від'ємним або більш додатним).
Отже, сума a2+b2−2abcosγ зростає при збільшенні кута γ. Оскільки c=c2, то і сама сторона c збільшується.
Відповідь:
При збільшенні кута між двома фіксованими сторонами косинус цього кута зменшується, що призводить до збільшення квадрата третьої сторони відповідно до теореми косинусів.
Довести, що якщо довжини двох сторін трикутника не змінювати, а збільшити кут між ними, то третя сторона також збільшиться. Обґрунтувати це за допомогою теореми косинусів.
Що треба знати
Теорема косинусів стверджує, що квадрат третьої сторони трикутника дорівнює сумі квадратів двох інших сторін мінус подвоєний добуток цих сторін на косинус кута між ними (c2=a2+b2−2abcosγ).
💡 Підказка — спробуй спершу сам
Розгляньте вираз для c2. Як змінюється значення cosγ, коли кут γ збільшується (в межах від 0∘ до 180∘)? Як це впливає на знак перед добутком 2abcosγ і, відповідно, на значення c2?
Розв’язання крок за кроком
Запишемо теорему косинусів для сторони c: c2=a2+b2−2abcosγ.
Розглянемо функцію косинуса на інтервалі (0∘;180∘). Вона є спадаючою: коли кут γ збільшується, значення cosγ зменшується (від +1 до −1).
Оскільки коефіцієнт −2ab від'ємний (припустимо, сторони додатні), то при зменшенні cosγ добуток −2abcosγ збільшується (стає менш від'ємним або більш додатним).
Отже, сума a2+b2−2abcosγ зростає при збільшенні кута γ. Оскільки c=c2, то і сама сторона c збільшується.
Відповідь:
При збільшенні кута між двома фіксованими сторонами косинус цього кута зменшується, що призводить до збільшення квадрата третьої сторони відповідно до теореми косинусів.
