ГДЗ · Геометрія · 9 клас

Сторінка 28

Геометрія, Мерзляк А. Г., Якір М. С., 2026 · № 2.54–2.56 · 3 завдання

Повні розв’язки, як у зошиті. Хочеш розібратися самостійно — під кожним завданням є «Пояснення з репетитором».

§ 1. Розв’язування трикутників

Завдання 2.54

Доведення формули медіани

Довести, що в трикутнику зі сторонами $a$ , $b$ і $c$ виконується рівність $m_{c} = \frac{1}{2} 2 a^{2} + 2 b^{2} - c^{2}$ , де $m_{c}$ — медіана до сторони $c$ .

Розв’язання

Позначимо вершини трикутника як $A, B, C$ , де $A C = b$ , $B C = a$ , $A B = c$ . Нехай $C D = A D = m_{c}$ — медіана до сторони $c$ . Розглянемо трикутники $A D C$ та $B D C$ .
За теоремою косинусів для $△ A D C$ : $b^{2} = m_{c}^{2} + a^{2} - 2 m_{c} \cdot a cos (∠ B C D)$ . Це не зручно. Краще застосувати до сторони $c$ як до суми векторів або розбити на два трикутники навколо медіани. Нехай $D$ — середина $A B$ . Розглянемо $△ A D C$ та $△ B D C$ .
Позначимо $∠ A D C = α$ , тоді $∠ B D C = 18 0^{\circ} - α$ . Застосуємо теорему косинусів до сторони $b$ ( $A C$ ) у $△ A D C$ : $b^{2} = m_{c}^{2} + a^{2} - 2 m_{c} \cdot a cos (∠ A C D)$ — ні, це неправильно. Правильно: $b^{2} = A D^{2} + C D^{2} - 2 A D \cdot C D cos α = m_{c}^{2} + m_{c}^{2} - 2 m_{c}^{2} cos α = 2 m_{c}^{2} (1 - cos α)$ . Аналогічно для $△ B D C$ : $a^{2} = B D^{2} + C D^{2} - 2 B D \cdot C D cos (18 0^{\circ} - α) = m_{c}^{2} + m_{c}^{2} - 2 m_{c}^{2} (- cos α) = 2 m_{c}^{2} (1 + cos α)$ .
Складемо рівність $a^{2} + b^{2}$ : $(a^{2} + b^{2}) = 2 m_{c}^{2} (1 - cos α) + 2 m_{c}^{2} (1 + cos α) = 2 m_{c}^{2} - 2 m_{c}^{2} cos α + 2 m_{c}^{2} + 2 m_{c}^{2} cos α = 4 m_{c}^{2}$ .
Отже, $a^{2} + b^{2} = 4 m_{c}^{2}$ , звідки $m_{c}^{2} = \frac{a ^{2} + b ^{2}}{4}$ . Але в умові формула інша. Перевіримо умову: $m_{c} = \frac{1}{2} 2 a^{2} + 2 b^{2} - c^{2}$ . Тоді $4 m_{c}^{2} = 2 a^{2} + 2 b^{2} - c^{2}$ . Отже, треба використати теорему косинусів для сторони $c$ у $△ A B C$ : $c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 ab cos C$ . Це не допомагає без зв'язку з медіаною.
Використаємо формулу для квадрата медіани: $4 m_{c}^{2} = 2 a^{2} + 2 b^{2} - c^{2}$ . Це відомий факт, який треба довести. Знову розглянемо $△ A D C$ і $△ B D C$ . Нехай $C D = m_{c}$ , $A D = B D = c /2$ .
У $△ A D C$ : $b^{2} = m_{c}^{2} + (c /2)^{2} - 2 m_{c} (c /2) cos α$ . У $△ B D C$ : $a^{2} = m_{c}^{2} + (c /2)^{2} - 2 m_{c} (c /2) cos (18 0^{\circ} - α) = m_{c}^{2} + c^{2} /4 + m_{c} c cos α$ .
Додамо ці рівняння: $a^{2} + b^{2} = 2 m_{c}^{2} + c^{2} /2$ . Звідси $2 m_{c}^{2} = a^{2} + b^{2} - c^{2} /2$ , тобто $4 m_{c}^{2} = 2 a^{2} + 2 b^{2} - c^{2}$ .
Отже, $m_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{4} = \frac{1}{2} 2 a^{2} + 2 b^{2} - c^{2}$ .

Відповідь:

Доведено, що $m_{c} = \frac{1}{2} 2 a^{2} + 2 b^{2} - c^{2}$ .

Завдання 2.55

Зв'язок сторони та кута трикутника

Довести, що якщо довжини двох сторін трикутника не змінювати, а збільшити кут між ними, то третя сторона також збільшиться. Обґрунтувати це за допомогою теореми косинусів.

Розв’язання

Запишемо теорему косинусів для сторони $c$ : $c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 ab cos γ$ .
Розглянемо функцію косинуса на інтервалі $(0^{\circ}; 18 0^{\circ})$ . Вона є спадаючою: коли кут $γ$ збільшується, значення $cos γ$ зменшується (від $+ 1$ до $- 1$ ).
Оскільки коефіцієнт $- 2 ab$ від'ємний (припустимо, сторони додатні), то при зменшенні $cos γ$ добуток $- 2 ab cos γ$ збільшується (стає менш від'ємним або більш додатним).
Отже, сума $a^{2} + b^{2} - 2 ab cos γ$ зростає при збільшенні кута $γ$ . Оскільки $c = c^{2}$ , то і сама сторона $c$ збільшується.

Відповідь:

При збільшенні кута між двома фіксованими сторонами косинус цього кута зменшується, що призводить до збільшення квадрата третьої сторони відповідно до теореми косинусів.

Завдання 2.56

Знаходження відстані між вежами

Дві вежі $A$ та $B$ знаходяться на березі озера. Точка $C$ позначена так, що $A C = 30 м$ , $B C = 40 м$ , $∠ A C B = 4 0^{\circ}$ . Знайти відстань $A B$ .

Розв’язання

Позначимо шукану відстань $A B = x$ . Застосуємо теорему косинусів до трикутника $A B C$ для сторони $x$ : $x^{2} = A C^{2} + B C^{2} - 2 \cdot A C \cdot B C \cdot cos (∠ A C B)$ .
Підставимо відомі значення: $x^{2} = 3 0^{2} + 4 0^{2} - 2 \cdot 30 \cdot 40 \cdot cos (4 0^{\circ})$ .
Обчислимо квадрати та добуток: $x^{2} = 900 + 1600 - 2400 \cdot cos (4 0^{\circ}) = 2500 - 2400 \cdot cos (4 0^{\circ})$ .
Знайдемо значення $cos (4 0^{\circ})$ (приблизно $0, 766$ ): $x^{2} \approx 2500 - 2400 \cdot 0, 766 = 2500 - 1838, 4 = 661, 6$ .
Знайдемо корінь: $x \approx 661, 6 \approx 25, 7 м$ . (Точніше: $cos (4 0^{\circ}) \approx 0, 766044$ , $2400 \cdot 0, 766044 = 1838, 5056$ , $2500 - 1838, 5056 = 661, 4944$ , $661, 4944 \approx 25, 719$ ).

Відповідь:

Відстань між вежами приблизно дорівнює $25, 7 м$ .