Сторінка 29

Розв’язання

1. Знайдемо на рулетці відрізок довжиною 20 см. Наприклад, відмітка 0 до 20 (якщо є) або комбінацію точок. Оскільки чітких поділок немає, шукаємо суму відрізків: $19+1=20$ (але 1 немає). Спробуємо інший варіант: відрізок від 3 до 23 дорівнює $23-3=20$ см.

2. Зафіксуємо рулетку так, щоб нуль був на одному краю дошки, а поділка 23 — на іншому (довжина 20 см).

3. Використовуючи теорему Фалеса (принцип паралельних перетинів), проводимо лінії через точки поділу відрізка [0; 23] на 4 частини. Оскільки $23:4=5,75$, це не ціле число, тому краще використати інший підхід: знайти відрізок, який ділиться на 4 рівні частини за наявними поділками.

4. Альтернативний варіант: взяти відрізок від 2 до 22 ($22-2=20$ см). Тоді можна спробувати знайти середину та чверті, використовуючи симетрію або побудову паралельних прямих через середні точки відрізків на рулетці (наприклад, середина між 2 і 22 — точка 12, яка є).

5. Якщо взяти відрізок від 2 до 22 (довжина 20 см), його середина — точка 12. Точки 2, 7, 12, 17, 22 утворюють рівновіддалені точки з кроком 5. Але нам потрібно 4 частини. Можна використати відрізок від 3 до 23 (довжина 20 см). Середина — 13 (немає).

6. Найпростіший спосіб: взяти відрізок від 0 до 20 (якщо є) або знайти такий, що $x-y=20$. Наприклад, $23-3=20$. Тоді ділимо на 4. Або використовуємо властивість паралельних прямих: якщо провести лінії через точки, що відповідають пропорційним відношенням.

Розв’язання

1. Оскільки $AC$ — діаметр, то $\angle ABC=90^{\circ }$ (кут, що спирається на діаметр).

2. Трикутник $ABC$ прямокутний з гіпотенузою $AC=2R$ і катетом $AB=R$.

3. Знайдемо $\sin \angle ACB=\frac{AB}{AC}=\frac{R}{2R}=\frac{1}{2}$. Звідси $\angle ACB=30^{\circ }$.

4. Знайдемо $\angle BAC=180^{\circ }-90^{\circ }-30^{\circ }=60^{\circ }$.

Розв’язання

1. Нехай кут при вершині $A$ дорівнює $\alpha$, а сусідній кут $B=180^{\circ }-\alpha$. Бісектриса ділить кут $A$ на два кути по $\frac{\alpha }{2}$.

2. Утворюються три кути при вершині $A$: сам кут $\alpha$, і два кути бісектриси з сусідніми сторонами, кожен дорівнює $\frac{\alpha }{2}$. Однак умовою є кут між бісектрисою та стороною. Це кут $\frac{\alpha }{2}$ (якщо розглядати внутрішній трикутник) або зовнішній, але зазвичай мається на увазі внутрішній кут у трикутнику, утвореному бісектрисою та стороною.

3. Умова: один із кутів між бісектрисою та стороною дорівнює одному з кутів паралелограма. Кути між бісектрисою та сторонами дорівнюють $\frac{\alpha }{2}$. Отже, або $\frac{\alpha }{2}=\alpha$ (неможливо, бо $\alpha =0$), або $\frac{\alpha }{2}=180^{\circ }-\alpha$ (сусідній кут).

4. Розв'язуємо рівняння: $\frac{\alpha }{2}=180^{\circ }-\alpha$. Помножимо на 2: $\alpha =360^{\circ }-2\alpha \Rightarrow 3\alpha =360^{\circ }\Rightarrow \alpha =120^{\circ }$.

5. Тоді сусідній кут $\beta =180^{\circ }-120^{\circ }=60^{\circ }$. Перевіримо: бісектриса ділить $120^{\circ }$ на $60^{\circ }$ і $60^{\circ }$. Один із цих кутів ($60^{\circ }$) дорівнює сусідньому куту паралелограма. Умова виконується.

Розв’язання

1. Позначимо прямий кут як $\angle XOY$ і квадрат як $PQRS$, де $P$ лежить на $OX$, а $Q$ — на $OY$. Нехай $K$ — точка перетину діагоналей квадрата.

2. Розглянемо трикутники, утворені сторонами кута та вершинами квадрата. Оскільки квадрат має властивість симетрії відносно своєї діагоналі, і його дві вершини «притиснуті» до перпендикулярних прямих, то будь-яке положення квадрата зберігає симетрію відносно бісектриси кута $\angle XOY$.

3. Точка $K$ є центром симетрії квадрата. Оскільки вся фігура (квадрат + кутові промені) симетрична відносно прямої, що ділить прямий кут навпіл, то центр симетрії $K$ обов'язково має лежати на цій осі симетрії.