Сторінка 27

Розв’язання

1. Проведемо висоту $BH\perp AD$. У прямокутному $△ABH$: $AH=AB\cdot \cos A=5\cdot \frac{1}{7}=\frac{5}{7}\text{см}$, а $BH=\sqrt{A{B}^2-A{H}^2}=\sqrt{25-\frac{25}{49}}=\sqrt{\frac{1200}{49}}=\frac{20\sqrt{3}}{7}\text{см}$.

2. Позначимо точку $K$ на основі $AD$ так, що $BKCD$ стане рівнобедреною трапецією (або просто розглянемо проекцію). Проведемо через $B$ пряму, паралельну бічній стороні $CD$, яка перетне $AD$ у точці $K$. Тоді $ABKD$ — трапеція, а $BKCD$ — рівнобедрена. Але простіше: проведемо висоту з $C$ на $AD$ (точка $L$). Тоді $KL=BC=9\text{см}$.

3. Довжина відрізку $AL=AH+HL=\frac{5}{7}+9=\frac{68}{7}\text{см}$. Оскільки $AD=16\text{см}$, то $LD=AD-AL=16-\frac{68}{7}=\frac{112-68}{7}=\frac{44}{7}\text{см}$.

4. У прямокутному $△BLC$ (де $CL=BH$): $C{D}^2=C{L}^2+L{D}^2={\left(\frac{20\sqrt{3}}{7}\right)}^2+{\left(\frac{44}{7}\right)}^2=\frac{1200}{49}+\frac{1936}{49}=\frac{3136}{49}$.

5. $CD=\sqrt{\frac{3136}{49}}=\frac{56}{7}=8\text{см}$.

Розв’язання

1. Проведемо висоту $CK\perp AD$. Нехай $CK=h$. У прямокутному $△CDK$: $DK=CD\cdot \cos D=4\cos D$, а $h=CD\sin D=4\sin D$.

2. Проведемо також висоту з $B$ на $AD$ (точка $M$). Тоді $MK=BC=6\text{см}$. Довжина відрізку $AM=AD-MK-DK=11-6-4\cos D=5-4\cos D$.

3. У прямокутному $△ABM$: $A{B}^2=A{M}^2+B{M}^2$. Оскільки $BM=CK=h$, маємо: $(\sqrt{15}{)}^2=(5-4\cos D{)}^2+(4\sin D{)}^2$.

4. Розкриваємо дужки: $15=25-40\cos D+16{\cos }^{2}D+16{\sin }^{2}D$. Оскільки ${\cos }^{2}D+{\sin }^{2}D=1$, то $15=25-40\cos D+16(1)=41-40\cos D$.

5. Переносимо доданки: $40\cos D=41-15=26$. Отже, $\cos D=\frac{26}{40}=\frac{13}{20}$.

Розв’язання

1. Позначимо $\angle B=\alpha$. Тоді $\angle D=180^{\circ }-\alpha$, звідки $\cos D=-\cos \alpha$.

2. За теоремою косинусів у $△ABC$: $A{C}^2=A{B}^2+B{C}^2-2AB\cdot BC\cos \alpha =3^2+4^2-2\cdot 3\cdot 4\cos \alpha =25-24\cos \alpha$.

3. За теоремою косинусів у $△ADC$: $A{C}^2=A{D}^2+C{D}^2-2AD\cdot CD\cos D=6^2+5^2-2\cdot 6\cdot 5(-\cos \alpha )=36+25+60\cos \alpha =61+60\cos \alpha$.

4. Прирівнюємо вирази для $A{C}^2$: $25-24\cos \alpha =61+60\cos \alpha$. Переносимо: $-36=84\cos \alpha$, звідки $\cos \alpha =-\frac{36}{84}=-\frac{3}{7}$.

5. Підставляємо значення $\cos \alpha$ у перше рівняння: $A{C}^2=25-24\cdot \left(-\frac{3}{7}\right)=25+\frac{72}{7}=\frac{175+72}{7}=\frac{247}{7}$. Тоді $AC=\sqrt{\frac{247}{7}}$.

Розв’язання

1. Розглянемо трикутник $ABD$. За теоремою косинусів знайдемо $\cos A$:
   $B{D}^2=A{B}^2+A{D}^2-2\cdot AB\cdot AD\cdot \cos A$
   $6^2=4^2+3^2-2\cdot 4\cdot 3\cdot \cos A$
   $36=16+9-24\cos A$
   $36=25-24\cos A$
   $11=-24\cos A$
   $\cos A=-\frac{11}{24}$.

2. Знайдемо сам кут $\angle A$, використовуючи арккосинус:
   $\angle A=\arccos (-\frac{11}{24})$. Оскільки косинус від'ємний, кут гострий? Ні, косинус від'ємний означає, що кут тупий ($90^{\circ }<\angle A<180^{\circ }$).
   Значення $\cos A\approx -0,458$. Кут $\angle A\approx 117,3^{\circ }$.

3. Перевіримо умову описаного чотирикутника: сума протилежних кутів має дорівнювати $180^{\circ }$.
   $\angle A+\angle C=117,3^{\circ }+30^{\circ }=147,3^{\circ }$.
   Оскільки $147,3^{\circ }\ne 180^{\circ }$, умова не виконується.

Розв’язання

1. Нехай в паралелограмі $ABCD$ кут $\angle B>\angle D$. Оскільки сумою протилежних кутів паралелограма є $180^{\circ }$, то $\angle B+\angle D=180^{\circ }$.

2. Розглянемо трикутник $ABC$ і трикутник $ABD$. У них спільна сторона $AB$. Протилежні сторони до кутів $\angle B$ та $\angle D$ — це діагоналі $AC$ та $BD$ відповідно.

3. З огляду на властивість трикутника (більша сторона лежить проти більшого кута), оскільки $\angle B>\angle D$, то діаметрально протилежна до нього діагональ $AC$ більша за $BD$.

Розв’язання

1. Найбільша сторона $AC=18\text{см}$. Бісектриса $BL$ ділить її на відрізки $AL$ і $LC$, такі що $\frac{AL}{LC}=\frac{AB}{BC}=\frac{12}{15}=\frac{4}{5}$.

2. Знайдемо довжини частин: $AL+LC=18$. З рівняння $\frac{AL}{18-AL}=\frac{4}{5}$ отримуємо $5AL=72-4AL$, звідки $9AL=72$, тобто $AL=8\text{см}$, а $LC=10\text{см}$.

3. За формулою бісектриси: $\frac{1}{B{L}^2}=\frac{1}{12\cdot 8}+\frac{1}{15\cdot 10}=\frac{1}{96}+\frac{1}{150}$.

4. Спростимо дріб: $\frac{1}{B{L}^2}=\frac{25}{2400}+\frac{16}{2400}=\frac{41}{2400}$. Тоді $B{L}^2=\frac{2400}{41}$, отже $BL=\sqrt{\frac{2400}{41}}=20\sqrt{\frac{6}{41}}\text{см}$.

Розв’язання

1. Оскільки $CM$ — бісектриса кута при основі рівнобедреного трикутника, то вона є висотою і медіаною. Точка $M$ ділить основу $AB$ навпіл: $AM=\frac{5}{2}=2,5\text{см}$.

2. Розглянемо прямокутний $△AMC$, де катет $AC=20\text{см}$, а катет $AM=2,5\text{см}$. Знайдемо гіпотенузу $CM$ за теоремою Піфагора: $CM=\sqrt{A{C}^2-A{M}^2}=\sqrt{20^2-2,5^2}=\sqrt{400-6,25}=\sqrt{393,75}$.

3. Обчислимо значення: $\sqrt{393,75}=\sqrt{\frac{1575}{4}}=\frac{15\sqrt{7}}{2}=7,5\sqrt{7}\text{см}$.

Розв’язання

1. Позначимо медіану як $m_c$. Вона ділить сторону $c=26\text{см}$ на відрізки по $13\text{см}$. Розглянемо $△$, утворений сторонами $a=16$, $m_c$ та півом більшої сторони $13$.

2. За теоремою косинусів для кута між $a$ і $m_c$: $13^2=16^2+m_c^2-2\cdot 16\cdot m_c\cdot \cos (\alpha )$. Для іншого трикутника: $18^2=16^2+13^2-2\cdot 16\cdot 13\cdot \cos (\beta )$, де $\alpha +\beta =180^{\circ }$, отже $\cos (\alpha )=-\cos (\beta )$.

3. Простіше використати формулу Аполлонія: $4m_c^2=2a^2+2b^2-c^2$. Підставимо числа: $4m_c^2=2(16^2)+2(18^2)-26^2=2(256)+2(324)-676=512+648-676=484$.

Розв’язання

1. Позначимо бічну сторону як $x$. Медіана $m_a=5\text{см}$ ділить її навпіл, отже $AM=x/2$. Основа $BC=4\sqrt{2}$. Сторони $AB=AC=x$.

2. Розглянемо $△ABC$. Медіана $AD$ (де $D$ на $BC$) ділить основу навпіл, тобто $BD=DC=2\sqrt{2}$. Але в умові сказано "медіана, проведена до бічної сторони". Тобто медіана з вершини основи до бічної сторони.

3. Позначимо медіану $AD$, де $D$ — середина $AC$. Тоді $CD=x/2$. Розглянемо $△ADC$ (якщо провести висоту) або скористатися формулою Аполлонія для медіани до сторони $b$: $4m_b^2=2a^2+2c^2-b^2$. Тут $a=b=x$, $c=4\sqrt{2}$, $m_b=5$.

4. Підставимо в формулу: $4\cdot 5^2=2x^2+2(4\sqrt{2}{)}^2-x^2$. $100=2x^2+32-x^2$. $100=x^2+32$.

Розв’язання

1. Нехай $ABC$ — заданий трикутник, $AM$ — медіана ($M\in BC$), $AM=7\text{см}$. Побудуємо точку $B^{\prime }$ симетричну точці $B$ відносно точки $M$. Тоді $MB=M{B}^{\prime }$.

2. Оскільки $AB=12\text{см}$, то в трикутнику $A{B}^{\prime }M$ сторона $A{B}^{\prime }=AB=12\text{см}$. Сторона $AM=7\text{см}$. У трикутнику $A{B}^{\prime }C$ сторона $AC=14\text{см}$.

3. Зверніть увагу, що $M$ є серединою $BC$, тому $BM=MC$. Оскільки $B^{\prime }$ симетрична $B$ відносно $M$, то $M{B}^{\prime }=MB=MC$. Отже, у трикутнику $A{B}^{\prime }C$ точка $M$ лежить на стороні $B^{\prime }C$ і ділить її навпіл? Ні, $M$ — середина $BC$, а $C$ — вершина. Розглянемо трикутник $A{B}^{\prime }C$. Сторона $AC=14\text{см}$. Сторона $A{B}^{\prime }=12\text{см}$. Сторона $B^{\prime }C=B^{\prime }M+MC=BM+MC=BC$. Але нам потрібно знайти $BC$.
   Правильніший підхід через формулу медіани або побудову паралелограма.
   Спробуємо метод побудови: Розглянемо трикутник $ABC$ з $AB=12$, $AC=14$, $AM=7$. Побудуємо точку $C^{\prime }$ симетричну $C$ відносно $M$. Тоді $MC=M{C}^{\prime }$. Трикутник $AB{C}^{\prime }$ має сторони $A{B}^{\prime }=12$ (де $B^{\prime }=B$), $A{C}^{\prime }=BC$ (невідома), $AC=14$. Це не допомагає без кута.
   Спробуємо формулу медіани: $4m_a^2=2b^2+2c^2-a^2$, де $a$ — шукана сторона, $b=12$, $c=14$, $m_a=7$.
   $4\cdot 7^2=2\cdot 12^2+2\cdot 14^2-a^2$.
   $4\cdot 49=2\cdot 144+2\cdot 196-a^2$.
   $196=288+392-a^2$.
   $196=680-a^2$.
   $a^2=680-196=484$.
   $a=\sqrt{484}=22\text{см}$.
   КРОКИ (альтернативний, більш геометричний):

4. Нехай $ABC$ — трикутник, $AB=12$, $AC=14$, медіана $AM=7$. Побудуємо точку $B^{\prime }$ симетричну точці $B$ відносно точки $M$.

5. Тоді $MB=M{B}^{\prime }$. Оскільки $M$ — середина $BC$, то $MC=MB$. Отже, $MC=M{B}^{\prime }$. Трикутник $A{B}^{\prime }C$ має сторони $AC=14$, $A{B}^{\prime }=AB=12$, а сторона $B^{\prime }C=B^{\prime }M+MC=BM+MC=BC=a$.

6. Розглянемо трикутник $A{B}^{\prime }C$. У ньому $M$ — середина $B^{\prime }C$? Ні, $M$ лежить на $BC$, а $C$ — вершина. Правильно: побудуємо точку $C^{\prime }$ симетричну $C$ відносно $M$. Тоді $MC=M{C}^{\prime }$. Трикутник $AB{C}^{\prime }$ має сторони $AB=12$, $A{C}^{\prime }=BC=a$, $AC=14$. Це не допомагає.
   Давайте використаємо властивість паралелограма. Продовжимо медіану $AM$ до точки $K$ так, що $AM=MK=7\text{см}$. З'єднаємо $B$ з $K$ і $C$ з $K$. Чотирикутник $ABKC$ є паралелограмом (діагоналі ділять навпіл).

7. У паралелограмі протилежні сторони рівні: $BK=AC=14\text{см}$, $CK=AB=12\text{см}$.

8. Розглянемо трикутник $ABK$ (або $ACK$). У трикутнику $ABK$ сторони: $AB=12$, $BK=14$, $AK=AM+MK=7+7=14\text{см}$.

9. Трикутник $ABK$ має сторони $12,14,14$. Це рівнобедрений трикутник з основою $AB=12$ і бічними сторонами $14$.

10. Нам потрібно знайти сторону $BC$ паралелограма? Ні, ми шукаємо сторону $BC$ оригінального трикутника. У паралелограмі $ABKC$, діагональ $AC$ не є стороною $BC$. Сторона $BC$ складається з $BM+MC$. У паралелограмі $ABKC$, сторона $BK=AC=14$. Сторона $CK=AB=12$.

11. Розглянемо трикутник $BKC$. Його сторони: $BK=14$, $CK=12$, а третя сторона $BC$ — це те, що ми шукаємо? Ні, $BC$ — це діагональ паралелограма? Ні, $BC$ — це сторона, яка ділиться на $BM$ і $MC$. У паралелограмі $ABKC$, вершини $A,B,K,C$. Сторони: $AB,BK,KC,CA$. Діагоналі $AK$ і $BC$.

12. Отже, у трикутнику $BKC$ сторони: $BK=14$, $CK=12$, а кут між ними? Не знаємо. Але ми знаємо діагональ $AK=14$.

13. Розглянемо трикутник $ABK$: сторони $12,14,14$. Знайдемо косинус кута $\angle BAK$ або $\angle ABK$. Нехай $\angle ABK=\beta$. За теоремою косинусів для $AK$: $A{K}^2=A{B}^2+B{K}^2-2\cdot AB\cdot BK\cdot \cos \beta$.
    $14^2=12^2+14^2-2\cdot 12\cdot 14\cdot \cos \beta$.
    $0=144-336\cos \beta$.
    $\cos \beta =\frac{144}{336}=\frac{3}{7}$.

14. Тепер розглянемо трикутник $BKC$. Сторони $BK=14$, $CK=12$. Кут $\angle KBC$? У паралелограмі протилежні кути рівні, суміжні — доповнюють до 180. Це складно.
    Спробуємо інший шлях: трикутник $ABK$ має сторони $12,14,14$. Знайдемо висоту або площу.
    Або використаємо формулу медіани знову, вона найпростіша.
    $a^2=2b^2+2c^2-4m_a^2=2(144)+2(196)-4(49)=288+392-196=484$.
    $a=22\text{см}$.

Розв’язання

1. Позначимо $AB=BC=x$. Тоді за умовою $BD=2x$, а відрізок $AD=AB+BD=x+2x=3x$.

2. Знайдемо кут $\angle BAC$ у трикутнику $ABC$: оскільки він рівнобедрений і $\angle ABC=120^{\circ }$, то $\angle BAC=\angle BCA=(180^{\circ }-120^{\circ })/2=30^{\circ }$.

3. Знайдемо довжину сторони $AC$ за теоремою косинусів у $△ABC$: $A{C}^2=x^2+x^2-2x\cdot x\cos 120^{\circ }=2x^2-2x^2(-0,5)=3x^2$, отже $AC=x\sqrt{3}$.

4. Знайдемо довжину сторони $CD$ за теоремою косинусів у $△CBD$: кут $\angle CBD$ є прилеглим до $\angle ABC$, тому $\angle CBD=180^{\circ }-120^{\circ }=60^{\circ }$. Сторони $BC=x,BD=2x$.

5. Обчислимо $C{D}^2=x^2+(2x{)}^2-2\cdot x\cdot 2x\cos 60^{\circ }=x^2+4x^2-4x^2(0,5)=5x^2-2x^2=3x^2$.

6. Отже, $CD=x\sqrt{3}$. Порівнюючи з кроком 3, бачимо, що $AC=CD$.