ГДЗ · Геометрія · 9 клас

Сторінка 26

Геометрія, Мерзляк А. Г., Якір М. С., 2026 · № 2.32–2.42 · 11 завдань

Повні розв’язки, як у зошиті. Хочеш розібратися самостійно — під кожним завданням є «Пояснення з репетитором».

§ 1. Розв’язування трикутників

Завдання 2.32

Знаходження периметра трикутника

Дві сторони трикутника дорівнюють $15 см$ і $35 см$ . Кут, протилежний більшій із відомих сторін ( $35 см$ ), дорівнює $12 0^{\circ}$ . Знайти периметр.

Розв’язання

Підставимо значення в формулу теореми косинусів: $3 5^{2} = 1 5^{2} + x^{2} - 2 \cdot 15 \cdot x \cdot (- \frac{1}{2})$ .
Спростимо рівняння: $1225 = 225 + x^{2} + 15 x$ , або $x^{2} + 15 x - 1000 = 0$ .
Знайдемо корені квадратного рівняння: $(x - 25) (x + 40) = 0$ . Оскільки довжина сторони не може бути від'ємною, $x = 25 см$ .

Відповідь:

Периметр трикутника дорівнює $15 + 35 + 25 = 75 см$ .

Завдання 2.33

Доведення властивості кута при

12 0^{\circ}

У трикутнику квадрат сторони $c$ дорівнює неповному квадрату суми двох інших сторін ( $a + b$ ), тобто $c^{2} = (a + b)^{2} - ab$ . Довести, що кут $γ$ , протилежний стороні $c$ , дорівнює $12 0^{\circ}$ .

Розв’язання

Розкриємо дужки у виразі з умови: $c^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2} - ab$ .
Спростимо праву частину: $c^{2} = a^{2} + b^{2} + ab$ .
Порівняємо з теоремою косинусів ( $c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 ab cos γ$ ). Отримаємо, що $- 2 ab cos γ = ab$ , звідки $cos γ = - \frac{1}{2}$ .
Знайдемо кут: $γ = 12 0^{\circ}$ .

Відповідь:

Доведено, що протилежний кут дорівнює $12 0^{\circ}$ .

Завдання 2.34

Доведення властивості кута при

6 0^{\circ}

У трикутнику квадрат сторони $c$ дорівнює неповному квадрату різниці двох інших сторін ( $a - b$ ), тобто $c^{2} = (a - b)^{2} + ab$ . Довести, що кут $γ$ , протилежний стороні $c$ , дорівнює $6 0^{\circ}$ .

Розв’язання

Розкриємо дужки у виразі з умови: $c^{2} = a^{2} - 2 ab + b^{2} + ab$ .
Спростимо праву частину: $c^{2} = a^{2} + b^{2} - ab$ .
Порівняємо з теоремою косинусів ( $c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 ab cos γ$ ). Отримаємо, що $- 2 ab cos γ = - ab$ , звідки $cos γ = \frac{1}{2}$ .
Знайдемо кут: $γ = 6 0^{\circ}$ .

Відповідь:

Доведено, що протилежний кут дорівнює $6 0^{\circ}$ .

Завдання 2.35

Знаходження діагоналі паралелограма

Сторони $a = 7 см$ , $b = 11 см$ . Одна діагональ $d_{1} = 12 см$ . Потрібно знайти другу діагональ $d_{2}$ .

Розв’язання

Обчислимо суму квадратів сторін: $a^{2} + b^{2} = 7^{2} + 1 1^{2} = 49 + 121 = 170$ .
Помножимо на 2: $2 \cdot 170 = 340$ . Це сума квадратів діагоналей.
Віднімемо від цієї суми квадрат відомої діагоналі: $d_{2}^{2} = 340 - 1 2^{2} = 340 - 144 = 196$ .
Знайдемо корінь з числа 196: $d_{2} = 196 = 14 см$ .

Відповідь:

Друга діагональ дорівнює $14 см$ .

Завдання 2.36

Знаходження периметра паралелограма

Діагоналі $d_{1} = 13 см$ , $d_{2} = 11 см$ . Одна зі сторін $a = 9 см$ . Потрібно знайти периметр.

Розв’язання

Обчислимо сума квадратів діагоналей: $1 3^{2} + 1 1^{2} = 169 + 121 = 290$ .
Знайдемо суму квадратів сторін: $a^{2} + b^{2} = \frac{290}{2} = 145$ .
Віднімемо квадрат відомої сторони: $b^{2} = 145 - 9^{2} = 145 - 81 = 64$ .
Знайдемо другу сторону: $b = 64 = 8 см$ .
Обчислимо периметр: $P = 2 (9 + 8) = 2 \cdot 17 = 34 см$ .

Відповідь:

Периметр паралелограма дорівнює $34 см$ .

Завдання 2.37

Знаходження сторін паралелограма за діагоналями

Діагоналі $d_{1} = 8 см$ , $d_{2} = 14 см$ . Одна сторона на $2 см$ більша за іншу ( $b = a + 2$ ). Потрібно знайти сторони.

Розв’язання

Сума квадратів діагоналей: $8^{2} + 1 4^{2} = 64 + 196 = 260$ .
Сума квадратів сторін: $a^{2} + b^{2} = \frac{260}{2} = 130$ .
Підставимо $b = a + 2$ : $a^{2} + (a + 2)^{2} = 130 \Rightarrow a^{2} + a^{2} + 4 a + 4 = 130$ .
Спростимо рівняння: $2 a^{2} + 4 a - 126 = 0$ , поділимо на 2: $a^{2} + 2 a - 63 = 0$ .
Розв'яжемо квадратне рівняння: $D = 4 - 4 \cdot 1 \cdot (- 63) = 256$ , $D = 16$ . Корені: $a_{1} = \frac{- 2 + 16}{2} = 7$ , $a_{2} = \frac{- 2 - 16}{2} = - 9$ (не підходить).
Отже, $a = 7 см$ , а $b = 7 + 2 = 9 см$ . Перевірка: $7^{2} + 9^{2} = 49 + 81 = 130$ (відповідає умові).

Відповідь:

Сторони паралелограма дорівнюють $7 см$ і $9 см$ .

Завдання 2.38

Знаходження діагоналей паралелограма

Сторони паралелограма $a = 11 см$ , $b = 23 см$ . Діагоналі відносяться як $d_{1} : d_{2} = 2 : 3$ .

Розв’язання

Нехай діагоналі дорівнюють $d_{1} = 2 x$ та $d_{2} = 3 x$ . За властивістю паралелограма маємо рівність: $(2 x)^{2} + (3 x)^{2} = 2 (1 1^{2} + 2 3^{2})$ .
Спростимо рівняння: $4 x^{2} + 9 x^{2} = 2 (121 + 529)$ , отже $13 x^{2} = 2 \cdot 650 = 1300$ .
Знайдемо $x^{2}$ : $x^{2} = 100$ , звідки $x = 10$ . Тоді діагоналі: $d_{1} = 2 \cdot 10 = 20 см$ , $d_{2} = 3 \cdot 10 = 30 см$ .

Відповідь:

Діагоналі паралелограма дорівнюють $20 см$ і $30 см$ .

Завдання 2.39

Знаходження основи рівнобедреного трикутника

Бічна сторона $c = 7 см$ , кут між бічними сторонами $α = 5 0^{\circ}$ . Треба знайти основу $a$ .

Розв’язання

Формула для основи $a$ : $a^{2} = 7^{2} + 7^{2} - 2 \cdot 7 \cdot 7 \cdot cos 5 0^{\circ}$ .
Обчислимо числове значення (використовуючи $cos 5 0^{\circ} \approx 0, 6428$ ): $a^{2} = 49 + 49 - 98 \cdot 0, 6428 = 98 - 62, 9944 = 35, 0056$ .
Знайдемо основу: $a = 35, 0056 \approx 5, 92 см$ .

Відповідь:

Основу трикутника приблизно дорівнює $5, 92 см$ .

Завдання 2.40

Знаходження відрізка AD у трикутнику

Трикутник $A B C$ з точкою $D$ на стороні $B C$ . Відомо: $A B = 37 см$ , $B C = 44 см$ , $A C = 15 см$ , $C D = 14 см$ . Знайти $A D$ .

Розв’язання

Знайдемо $B D$ : $B D = B C - C D = 44 - 14 = 30 см$ .
У трикутнику $A B C$ знайдемо $cos B$ за теоремою косинусів: $A C^{2} = A B^{2} + B C^{2} - 2 \cdot A B \cdot B C \cdot cos B$ . Підставимо числа: $1 5^{2} = 3 7^{2} + 4 4^{2} - 2 \cdot 37 \cdot 44 \cdot cos B$ .
Обчислимо: $225 = 1369 + 1936 - 3256 cos B \Rightarrow 225 = 3305 - 3256 cos B \Rightarrow 3256 cos B = 3080 \Rightarrow cos B = \frac{3080}{3256} = \frac{385}{407} = \frac{35}{37}$ .
Тепер у трикутнику $A B D$ знайдемо $A D$ : $A D^{2} = A B^{2} + B D^{2} - 2 \cdot A B \cdot B D \cdot cos B$ . Підставимо: $A D^{2} = 3 7^{2} + 3 0^{2} - 2 \cdot 37 \cdot 30 \cdot \frac{35}{37}$ .
Спростимо вираз: $A D^{2} = 1369 + 900 - 60 \cdot 35 = 2269 - 2100 = 169$ . Отже, $A D = 169 = 13 см$ .

Відповідь:

Відрізок $A D$ дорівнює $13 см$ .

Завдання 2.41

Знаходження відстані між точками на сторонах трикутника

У трикутнику $A B C$ точка $K$ лежить на стороні $A B$ , а точка $M$ — на продовженні сторони $B C$ за точку $C$ . Відомо: $A B = 15 см$ , $B C = 7 см$ , $A C = 13 см$ , $A K = 8 см$ , $M C = 3 см$ . Потрібно знайти довжину відрізка $M K$ .

Розв’язання

Знайдемо довжину відрізка $B K$ : $B K = A B - A K = 15 см - 8 см = 7 см$ .
Оскільки $B C = 7 см$ і $B K = 7 см$ , то трикутник $K B C$ є рівнобедреним з основою $K C$ .
Знайдемо кут $∠ C$ у трикутнику $A B C$ за теоремою косинусів: $A C^{2} = A B^{2} + B C^{2} - 2 \cdot A B \cdot B C \cdot cos B$ . Але простіше помітити, що $B K = B C$ , отже $∠ B K C = ∠ C$ .
Оскільки точка $M$ лежить на продовженні $B C$ , то $B M = B C + C M = 7 см + 3 см = 10 см$ .
Розглянемо трикутник $K B M$ . Ми знаємо сторони $B K = 7 см$ , $B M = 10 см$ і кут $∠ B$ . Знайдемо $cos B$ з рівняння $A C^{2} = A B^{2} + B C^{2} - 2 \cdot A B \cdot B C \cdot cos B$ : $1 3^{2} = 1 5^{2} + 7^{2} - 2 \cdot 15 \cdot 7 \cdot cos B$ .
Обчислимо $cos B$ : $169 = 225 + 49 - 210 cos B \Rightarrow 169 = 274 - 210 cos B \Rightarrow 210 cos B = 105 \Rightarrow cos B = 0, 5$ .
Отже, $∠ B = 6 0^{\circ}$ . Трикутник $K B M$ має сторони $7 см$ і $10 см$ та кут між ними $6 0^{\circ}$ . Знайдемо сторону $M K$ за теоремою косинусів: $M K^{2} = B K^{2} + B M^{2} - 2 \cdot B K \cdot B M \cdot cos B$ .
Підставимо значення: $M K^{2} = 7^{2} + 1 0^{2} - 2 \cdot 7 \cdot 10 \cdot 0, 5 = 49 + 100 - 70 = 79$ .

Відповідь:

$M K = 79 см$ .

Завдання 2.42

Доведення прямокутності трикутника

У трикутнику одна сторона у 2 рази більша за іншу ( $b = 2 a$ ), а кут між ними дорівнює $6 0^{\circ}$ . Потрібно довести, що цей трикутник є прямокутним.

Розв’язання

Позначимо сторони трикутника як $a$ та $b = 2 a$ . Кут між ними $γ = 6 0^{\circ}$ .
Знайдемо третю сторону $c$ за теоремою косинусів: $c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 ab cos 6 0^{\circ}$ .
Підставимо значення: $c^{2} = a^{2} + (2 a)^{2} - 2 \cdot a \cdot 2 a \cdot 0, 5 = a^{2} + 4 a^{2} - 2 a^{2} = 3 a^{2}$ .
Отже, $c = a 3$ . Перевіримо, чи виконується теорема Піфагора: $a^{2} + b^{2} = a^{2} + (2 a)^{2} = 5 a^{2}$ , що не дорівнює $c^{2} = 3 a^{2}$ .
Перевіримо інший варіант: чи є кут при стороні $b$ прямим? За теоремою синусів $\frac{b}{sin β} = \frac{c}{sin γ}$ . Але простіше перевірити суму квадратів сторін.
Перевіримо, чи є кут при стороні $a$ прямим: $a^{2} + c^{2} = a^{2} + 3 a^{2} = 4 a^{2} = b^{2}$ . Оскільки сума квадратів двох сторін ( $a$ і $c$ ) дорівнює квадрату третьої сторони ( $b$ ), то трикутник є прямокутним, а гіпотенузою є сторона $b$ .

Відповідь:

Трикутник є прямокутним, оскільки $a^{2} + c^{2} = b^{2}$ , де $b$ — гіпотенуза.