ГДЗ · Геометрія · 9 клас

Сторінка 25

Геометрія, Мерзляк А. Г., Якір М. С., 2026 · № 2.21–2.31 · 11 завдань

Повні розв’язки, як у зошиті. Хочеш розібратися самостійно — під кожним завданням є «Пояснення з репетитором».

§ 1. Розв’язування трикутників

Завдання 2.21

Знаходження третьої сторони за двома сторонами та синусом кута

Дві сторони трикутника дорівнюють $3 см$ і $4 см$ , а синус кута між ними дорівнює $\frac{35}{6}$ . Знайдіть третю сторону. Обговоріть з однокласниками й однокласницями, скільки розв'язків має задача.

Розв’язання

Знайдемо $cos α$ : $cos^{2} α = 1 - (\frac{35}{6})^{2} = 1 - \frac{35}{36} = \frac{1}{36}$ , отже $cos α = \pm \frac{1}{6}$ .
Знайдемо третю сторону $c$ для першого випадку ( $cos α = \frac{1}{6}$ ): $c^{2} = 3^{2} + 4^{2} - 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot \frac{1}{6} = 9 + 16 - 4 = 21$ , тобто $c = 21 см$ .
Знайдемо третю сторону $c$ для другого випадку ( $cos α = - \frac{1}{6}$ ): $c^{2} = 3^{2} + 4^{2} - 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot (- \frac{1}{6}) = 9 + 16 + 4 = 29$ , тобто $c = 29 см$ .

Відповідь:

Третя сторона дорівнює $21 см$ або $29 см$ . Задача має два розв'язки.

Завдання 2.22

Знаходження відрізка, що сполучає вершину прямокутного трикутника з точкою на гіпотенузі

У трикутнику $A B C$ відомо, що $∠ C = 9 0^{\circ}$ , $A C = 20 см$ , $B C = 15 см$ . На стороні $A B$ позначено точку $M$ так, що $B M = 4 см$ . Знайдіть відрізок $C M$ .

Розв’язання

Знайдемо гіпотенузу $A B$ : $A B = A C^{2} + B C^{2} = 2 0^{2} + 1 5^{2} = 400 + 225 = 625 = 25 см$ .
Знайдемо відрізок $A M$ : $A M = A B - B M = 25 - 4 = 21 см$ .
Знайдемо косинус кута $A$ у трикутнику $A B C$ : $cos A = \frac{A C}{A B} = \frac{20}{25} = \frac{4}{5}$ .
У трикутнику $A C M$ використаємо теорему косинусів: $C M^{2} = A C^{2} + A M^{2} - 2 \cdot A C \cdot A M \cdot cos A = 2 0^{2} + 2 1^{2} - 2 \cdot 20 \cdot 21 \cdot \frac{4}{5} = 400 + 441 - 672 = 169$ .

Відповідь:

$C M = 169 = 13 см$ .

Завдання 2.23

Знаходження відстані між точкою на продовженні гіпотенузи та вершиною прямокутного трикутника

На продовженні гіпотенузи $A B$ прямокутного рівнобедреного трикутника $A B C$ за точку $B$ позначено точку $D$ так, що $B D = B C$ . Знайдіть відрізок $C D$ , якщо катет трикутника $A B C$ дорівнює $a$ .

Розв’язання

У рівнобедреному прямокутному трикутнику $A B C$ : $A C = B C = a$ , $∠ B = 4 5^{\circ}$ . Оскільки точка $D$ на продовженні $A B$ , кут $∠ C B D = 18 0^{\circ} - 4 5^{\circ} = 13 5^{\circ}$ .
Довжина $B D = B C = a$ .
У трикутнику $B C D$ за теоремою косинусів: $C D^{2} = B C^{2} + B D^{2} - 2 \cdot B C \cdot B D \cdot cos (13 5^{\circ}) = a^{2} + a^{2} - 2 a^{2} \cdot (- \frac{2}{2}) = 2 a^{2} + a^{2} 2$ .

Відповідь:

$C D = a^{2} (2 + 2) = a 2 + 2$ .

Завдання 2.24

Знаходження відстані до точки на продовженні гіпотенузи

У трикутнику $A B C$ кут $∠ C = 9 0^{\circ}$ , сторона $A B = 13 см$ , сторона $A C = 12 см$ . На продовженні гіпотенузи $A B$ за точку $B$ взято точку $D$ так, що $B D = 26 см$ . Знайти відстань $C D$ .

Розв’язання

Знайдемо катет $B C$ у прямокутному трикутнику $A B C$ : $B C = A B^{2} - A C^{2} = 1 3^{2} - 1 2^{2} = 169 - 144 = 25 = 5 см$ .
Знайдемо довжину сторони $A D$ трикутника $A C D$ : $A D = A B + B D = 13 + 26 = 39 см$ .
Застосуємо теорему косинусів до трикутника $A C D$ , щоб знайти сторону $C D$ : $C D^{2} = A C^{2} + A D^{2} - 2 \cdot A C \cdot A D \cdot cos (∠ C A D)$ . Оскільки $∠ C A D$ — це кут при вершині $A$ прямокутного трикутника, його косинус дорівнює відношенню сусіднього катета до гіпотенузи: $cos A = \frac{A C}{A B} = \frac{12}{13}$ .
Підставимо значення у формулу: $C D^{2} = 1 2^{2} + 3 9^{2} - 2 \cdot 12 \cdot 39 \cdot \frac{12}{13} = 144 + 1521 - 288 \cdot 12 = 1665 - 3456$ (ошибка в логіці, краще використати координатний метод або поділити на трикутники).
Корекція розв'язання: Краще розбити $C D^{2}$ через координати або властивості. Але найпростіше: $C D^{2} = A C^{2} + A D^{2} - 2 \cdot A C \cdot A D \cdot cos A$ . $cos A = 12/13$ .
$C D^{2} = 144 + 1521 - 2 \cdot 12 \cdot 39 \cdot (12/13) = 1665 - 24 \cdot 39 \cdot (12/13) = 1665 - 24 \cdot 3 \cdot 12 = 1665 - 864 = 801$ .
$C D = 801 = 9 \cdot 89 = 389 см$ .

Відповідь:

$389 см$

Завдання 2.25

Гіпотенуза за відстанями до центру вписаного кола

Центр кола, вписаного в прямокутний трикутник, знаходиться на відстанях $a$ і $b$ від кінців гіпотенузи. Знайдіть довжину цієї гіпотенузи.

Розв’язання

Позначимо вершини прямокутного трикутника як $A, B, C$ , де $∠ C = 9 0^{\circ}$ . Центр вписаного кола — точка $O$ . З умови маємо $O A = a$ і $O B = b$ .
Розглянемо трикутник $A O B$ . Оскільки $O$ є центром вписаного кола, промені $O A$ і $O B$ ділять кути при вершинах $A$ і $B$ навпіл. Сума кутів у трикутнику $A B C$ дорівнює $18 0^{\circ}$ , тому $∠ A + ∠ B = 9 0^{\circ}$ .
У трикутнику $A O B$ сума кутів також $18 0^{\circ}$ : $∠ A O B + ∠ O A B + ∠ O B A = 18 0^{\circ}$ . Оскільки $∠ O A B = \frac{1}{2} ∠ A$ і $∠ O B A = \frac{1}{2} ∠ B$ , то $∠ O A B + ∠ O B A = \frac{1}{2} (∠ A + ∠ B) = 4 5^{\circ}$ .
Знайдемо кут $∠ A O B$ : $∠ A O B = 18 0^{\circ} - 4 5^{\circ} = 13 5^{\circ}$ .
Застосуємо теорему косинусів до трикутника $A O B$ для знаходження сторони $A B$ (гіпотенузи трикутника $A B C$ ):
$A B^{2} = O A^{2} + O B^{2} - 2 \cdot O A \cdot O B \cdot cos (13 5^{\circ})$ .
Підставимо значення: $cos (13 5^{\circ}) = - \frac{2}{2}$ . Тоді $A B^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 ab \cdot (- \frac{2}{2}) = a^{2} + b^{2} + ab 2$ .

Відповідь:

Гіпотенуза дорівнює $a^{2} + b^{2} + ab 2$ .

Завдання 2.26

Знаходження сторони трикутника через центр вписаного кола

$B C = a$ , $A C = b$ , $∠ A O B = 12 0^{\circ}$ . Знайти сторону $A B$ .

Розв’язання

Знайдемо кут $C$ : $∠ C = 18 0^{\circ} - ∠ A O B = 18 0^{\circ} - 12 0^{\circ} = 6 0^{\circ}$ .
За теоремою косинусів для трикутника $A B C$ маємо: $c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 ab cos C$ , де $c = A B$ .
Підставимо значення $cos 6 0^{\circ} = 0, 5$ : $A B^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 ab \cdot 0, 5 = a^{2} + b^{2} - ab$ .

Відповідь:

$A B = a^{2} + b^{2} - ab$ .

Завдання 2.27

Знаходження двох сторін трикутника за кутом і третьою стороною

Дві сторони трикутника, кут між якими дорівнює $6 0^{\circ}$ , відносяться як $5 : 8$ , а третя сторона дорівнює $21$ см. Знайдіть невідомі сторони трикутника.

Розв’язання

Нехай одна сторона дорівнює $5 x$ , а інша — $8 x$ . Третя сторона $c = 21$ см, кут $γ = 6 0^{\circ}$ .
За теоремою косинусів: $(21)^{2} = (5 x)^{2} + (8 x)^{2} - 2 \cdot 5 x \cdot 8 x \cdot cos 6 0^{\circ}$ .
Спростимо рівняння: $441 = 25 x^{2} + 64 x^{2} - 80 x^{2} \cdot 0, 5$ .
Отримаємо $441 = 89 x^{2} - 40 x^{2}$ , тобто $441 = 49 x^{2}$ . Звідси $x^{2} = 9$ , отже $x = 3$ (довжина сторони не може бути від'ємною).
Знайдемо довжини сторін: $5 x = 5 \cdot 3 = 15$ см, $8 x = 8 \cdot 3 = 24$ см.

Відповідь:

Сторони трикутника дорівнюють $15$ см, $24$ см і $21$ см.

Завдання 2.28

Знаходження сторін трикутника за відношенням двох сторін, кутом між ними та третьою стороною

Дві сторони трикутника відносяться як $1 : 23$ і утворюють кут $3 0^{\circ}$ . Третя сторона дорівнює $27$ см. Знайдіть невідомі сторони трикутника.

Розв’язання

Нехай одна сторона дорівнює $x$ , а інша — $23 x$ . Кут між ними $α = 3 0^{\circ}$ , третя сторона $c = 27$ см.
За теоремою косинусів: $(27)^{2} = x^{2} + (23 x)^{2} - 2 \cdot x \cdot 23 x \cdot cos 3 0^{\circ}$ .
Спростимо: $28 = x^{2} + 12 x^{2} - 43 x^{2} \cdot \frac{3}{2}$ .
Отримаємо $28 = 13 x^{2} - 6 x^{2}$ , тобто $28 = 7 x^{2}$ . Звідси $x^{2} = 4$ , отже $x = 2$ см.
Знайдемо довжини сторін: перша сторона $x = 2$ см, друга сторона $23 \cdot 2 = 43$ см.

Відповідь:

Сторони трикутника дорівнюють $2$ см, $43$ см і $27$ см.

Завдання 2.29

Знаходження сторін трикутника за сумою двох сторін, кутом між ними та третьою стороною

Сума двох сторін трикутника, які утворюють кут $12 0^{\circ}$ , дорівнює $8$ см. Довжина третьої сторони — $7$ см. Знайдіть невідомі сторони трикутника.

Розв’язання

Нехай сторони дорівнюють $x$ та $y$ . За умовою $x + y = 8$ , отже $(x + y)^{2} = 64$ .
Теорема косинусів для кута $12 0^{\circ}$ : $7^{2} = x^{2} + y^{2} - 2 x y cos 12 0^{\circ}$ . Оскільки $cos 12 0^{\circ} = - 0, 5$ , маємо $49 = x^{2} + y^{2} + x y$ .
Перетворимо $(x + y)^{2} = 64$ на $x^{2} + y^{2} + 2 x y = 64$ . Звідси $x^{2} + y^{2} = 64 - 2 x y$ .
Підставимо це у рівняння з кроку 2: $49 = (64 - 2 x y) + x y$ , тобто $49 = 64 - x y$ . Отже, $x y = 15$ .
Знайдемо числа $x$ та $y$ , які є коренями рівняння $t^{2} - (x + y) t + x y = 0$ : $t^{2} - 8 t + 15 = 0$ . Корені: $t_{1} = 3, t_{2} = 5$ .

Відповідь:

Сторони трикутника дорівнюють $3$ см, $5$ см і $7$ см.

Завдання 2.30

Знаходження сторін трикутника за кутом та периметром

Дві сторони трикутника, кут між якими дорівнює $12 0^{\circ}$ , відносяться як $5 : 3$ . Периметр трикутника дорівнює $30 см$ . Знайдіть довжини всіх трьох сторін.

Розв’язання

Нехай дві сторони дорівнюють $5 x$ та $3 x$ . Третя сторона позначимо як $c$ .
За теоремою косинусів для кута $C = 12 0^{\circ}$ : $c^{2} = (5 x)^{2} + (3 x)^{2} - 2 \cdot 5 x \cdot 3 x \cdot cos (12 0^{\circ})$ .
Підставимо значення $cos (12 0^{\circ}) = - 0, 5$ : $c^{2} = 25 x^{2} + 9 x^{2} - 30 x^{2} \cdot (- 0, 5) = 34 x^{2} + 15 x^{2} = 49 x^{2}$ .
Отже, $c = 49 x^{2} = 7 x$ . Периметр $P = 5 x + 3 x + 7 x = 15 x$ .
Знайдемо множник: $15 x = 30 см \Rightarrow x = 2 см$ .
Обчислимо сторони: $a = 5 \cdot 2 = 10 см$ , $b = 3 \cdot 2 = 6 см$ , $c = 7 \cdot 2 = 14 см$ .

Відповідь:

Сторони трикутника дорівнюють $10 см$ , $6 см$ і $14 см$ .

Завдання 2.31

Знаходження третьої сторони за двома сторонами та кутом

Дві сторони трикутника дорівнюють $16 см$ і $14 см$ . Кут, протилежний меншій із відомих сторін ( $14 см$ ), дорівнює $6 0^{\circ}$ . Знайдіть третю сторону.

Розв’язання

Позначимо сторони трикутника як $a = 16 см$ , $b = 14 см$ , шукану сторону — $c$ . Кут $β$ , протилежний стороні $b$ , дорівнює $6 0^{\circ}$ .
За теоремою косинусів: $b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos (6 0^{\circ})$ .
Підставимо числа: $1 4^{2} = 1 6^{2} + c^{2} - 2 \cdot 16 \cdot c \cdot 0, 5$ .
Спростимо рівняння: $196 = 256 + c^{2} - 16 c$ . Перенесемо все в один бік: $c^{2} - 16 c + 60 = 0$ .
Розв'яжемо квадратне рівняння: $D = (- 16)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 60 = 256 - 240 = 16$ . Корені: $c_{1} = \frac{16 + 4}{2} = 10$ , $c_{2} = \frac{16 - 4}{2} = 6$ .

Відповідь:

Третя сторона трикутника може дорівнювати $10 см$ або $6 см$ .