Сторінка 24

Розв’язання

1. Знайдемо першу діагональ $d_1$:
   $d_1^2=(2\sqrt{2}{)}^2+5^2-2\cdot 2\sqrt{2}\cdot 5\cdot \cos 45^{\circ }$;
   $d_1^2=8+25-20\sqrt{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$;
   $d_1^2=33-20=13$.

2. Знайдемо другу діагональ $d_2$ через кут $180^{\circ }-45^{\circ }=135^{\circ }$:
   $d_2^2=(2\sqrt{2}{)}^2+5^2-2\cdot 2\sqrt{2}\cdot 5\cdot \cos 135^{\circ }$;
   $\cos 135^{\circ }=-\frac{\sqrt{2}}{2}$, тому $d_2^2=8+25-20\sqrt{2}\cdot (-\frac{\sqrt{2}}{2})$;
   $d_2^2=33+20=53$.

Розв’язання

1. Знайдемо діагональ $AC$ у $△ADC$:
   За теоремою косинусів: $A{C}^2=A{D}^2+C{D}^2-2\cdot AD\cdot CD\cdot \cos D$;
   $A{C}^2=10^2+4^2-2\cdot 10\cdot 4\cdot \cos 60^{\circ }$;
   $A{C}^2=100+16-80\cdot 0,5=116-40=76$.
   $AC=\sqrt{76}=2\sqrt{19}$ см.

2. Знайдемо діагональ $BD$. Проведемо через точку $C$ пряму, паралельну до $AB$, що перетне $AD$ у точці $K$. Тоді $AKBC$ — паралелограм, $AK=BC=3$, $KD=AD-AK=10-3=7$. У $△BCD$ кут при основі невідомий.
   Альтернативний спосіб: Розглянемо трикутник $BCD$. Проведемо висоту з $C$ на $AD$. Висота $h=CD\cdot \sin 60^{\circ }=4\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}$. Проекція $CD$ на $AD$: $p=CD\cdot \cos 60^{\circ }=4\cdot 0,5=2$.
   Координати: $D(0,0)$, $A(10,0)$, $C(2,2\sqrt{3})$, $B(x,2\sqrt{3})$. Оскільки $BC=3$ і $BC\parallel AD$, то $x_B=x_C+3=5$. Точка $B(5,2\sqrt{3})$.
   Знайдемо відстань $BD$: $B{D}^2=(5-0{)}^2+(2\sqrt{3}-0{)}^2=25+12=37$.
   $BD=\sqrt{37}$ см.

Розв’язання

1. Знайдемо $\cos \gamma$ (кут між сторонами 3 і 10, протилежний стороні 11):
   $\cos \gamma =\frac{3^2+10^2-11^2}{2\cdot 3\cdot 10}=\frac{9+100-121}{60}=\frac{-12}{60}=-0,2$.

2. Знайдемо $\cos \beta$ (кут між сторонами 3 і 11, протилежний стороні 10):
   $\cos \beta =\frac{3^2+11^2-10^2}{2\cdot 3\cdot 11}=\frac{9+121-100}{66}=\frac{30}{66}=\frac{5}{11}$.

3. Знайдемо $\cos \alpha$ (кут між сторонами 10 і 11, протилежний стороні 3):
   $\cos \alpha =\frac{10^2+11^2-3^2}{2\cdot 10\cdot 11}=\frac{100+121-9}{220}=\frac{212}{220}=\frac{53}{55}$.

Розв’язання

1. Знайдемо косинус найбільшого кута $\gamma$ (між сторонами $5$ і $7$):
   $\cos \gamma =\frac{5^2+7^2-8^2}{2\cdot 5\cdot 7}=\frac{25+49-64}{70}=\frac{10}{70}=\frac{1}{7}$.

2. Знайдемо косинус кута $\alpha$ (між сторонами $5$ і $8$):
   $\cos \alpha =\frac{5^2+8^2-7^2}{2\cdot 5\cdot 8}=\frac{25+64-49}{80}=\frac{40}{80}=\frac{1}{2}$.

3. Знайдемо косинус кута $\beta$ (між сторонами $7$ і $8$):
   $\cos \beta =\frac{7^2+8^2-5^2}{2\cdot 7\cdot 8}=\frac{49+64-25}{112}=\frac{88}{112}=\frac{11}{14}$.

Розв’язання

1. Знайдемо косинус найбільшого кута $\gamma$:
   $\cos \gamma =\frac{3^2+5^2-7^2}{2\cdot 3\cdot 5}=\frac{9+25-49}{30}=\frac{-15}{30}=-\frac{1}{2}$.

2. Знайдемо сам кут, знаючи його косинус: $\cos \gamma =-\frac{1}{2}$ відповідає куту $120^{\circ }$ (оскільки $\cos 60^{\circ }=\frac{1}{2}$, а косинус тупого кута від'ємний).

Розв’язання

1. Спростимо довжину сторони: $\sqrt{18}=3\sqrt{2}$. Позначимо сторони як $a=5$, $b=7$, $c=3\sqrt{2}$. Середній кут $\beta$ протилежний стороні $a=5$.

2. Знайдемо косинус кута $\beta$:
   $\cos \beta =\frac{(3\sqrt{2}{)}^2+7^2-5^2}{2\cdot 3\sqrt{2}\cdot 7}=\frac{18+49-25}{42\sqrt{2}}=\frac{42}{42\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$.

3. Кут, косинус якого дорівнює $\frac{\sqrt{2}}{2}$, це $45^{\circ }$.

Розв’язання

1. Випадок 1): $5^2+7^2=25+49=74$, $9^2=81$. Оскільки $81>74$ ($c^2>a^2+b^2$), трикутник тупокутний.

2. Випадок 2): $5^2+12^2=25+144=169$, $13^2=169$. Оскільки $169=169$ ($c^2=a^2+b^2$), трикутник прямокутний.

3. Випадок 3): $10^2+15^2=100+225=325$, $18^2=324$. Оскільки $325>324$ ($c^2<a^2+b^2$), трикутник гострокутний.

Розв’язання

1. Знаходимо квадрати сторін: $7^2=49$, $8^2=64$, $12^2=144$.

2. Сумуємо квадрати двох менших сторін: $49+64=113$.

3. Порівнюємо з квадратом найбільшої сторони: $113<144$. Оскільки сума квадратів катетів менша за квадрат гіпотенузи (або загальною формулою $a^2+b^2<c^2$), трикутник є тупокутним.

Розв’язання

1. Знаходимо квадрати сторін: $8^2=64$, $15^2=225$, $17^2=289$.

2. Сумуємо квадрати двох менших сторін: $64+225=289$.

3. Порівнюємо отримані значення: $289=289$. Рівність виконується, отже, трикутник є прямокутним.

Розв’язання

1. Позначимо відомі сторони $a=7\text{см}$ та $b=7\text{см}$, а кут між ними $\gamma =60^{\circ }$. Нехай третя сторона — $c$.

2. Підставимо значення у формулу теореми косинусів: $c^2=7^2+7^2-2\cdot 7\cdot 7\cdot \cos 60^{\circ }$.

3. Знаючи, що $\cos 60^{\circ }=0,5$, обчислимо: $c^2=49+49-2\cdot 49\cdot 0,5=98-49=49$.

Розв’язання

1. Оскільки $AB=6\text{см}$ і $AD:DB=2:1$, то $AD=\frac{2}{3}\cdot 6=4\text{см}$, а $AC=AB=6\text{см}$. Кут $\angle A=60^{\circ }$.

2. Застосуємо теорему косинусів до трикутника $ACD$: $C{D}^2=A{C}^2+A{D}^2-2\cdot AC\cdot AD\cdot \cos 60^{\circ }$.

3. Підставимо числа: $C{D}^2=6^2+4^2-2\cdot 6\cdot 4\cdot 0,5=36+16-24=28$. Отже, $CD=\sqrt{28}=2\sqrt{7}\text{см}$.

Розв’язання

1. Знайдемо гіпотенузу $AB$: $AB=\sqrt{A{C}^2+B{C}^2}=\sqrt{4^2+4^2}=\sqrt{32}=4\sqrt{2}\text{см}$. Кут $\angle B=45^{\circ }$.

2. Знайдемо $BM$: оскільки $AM:BM=1:3$, то $BM=\frac{3}{4}AB=\frac{3}{4}\cdot 4\sqrt{2}=3\sqrt{2}\text{см}$.

3. Застосуємо теорему косинусів до трикутника $BCM$: $C{M}^2=B{C}^2+B{M}^2-2\cdot BC\cdot BM\cdot \cos 45^{\circ }$.

4. Підставимо значення ($\cos 45^{\circ }=\frac{\sqrt{2}}{2}$): $C{M}^2=16+(3\sqrt{2}{)}^2-2\cdot 4\cdot 3\sqrt{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=16+18-24=10$.

Розв’язання

1. Позначимо невідому сторону як $x$. Нерівність існування трикутника: $|7-5|<x<7+5$, тобто $2<x<12$.

2. Умова тупого кута між сторонами $5$ і $7$: $x^2>5^2+7^2=25+49=74$. Звідси $x>\sqrt{74}$. Оскільки $\sqrt{64}=8$ і $\sqrt{81}=9$, то $\sqrt{74}$ десь між $8$ і $9$ (точніше, близько $8,6$).

3. Отже, $x>8,6$. Найменше натуральне число, що задовольняє умову $2<x<12$ та $x>8,6$, це $9$.

Розв’язання

1. Позначимо невідому сторону як $x$. Нерівність існування трикутника: $|6-4|<x<6+4$, тобто $2<x<10$.

2. Умова гострого кута між сторонами $4$ і $6$: $x^2<4^2+6^2=16+36=52$. Звідси $x<\sqrt{52}$. Оскільки $\sqrt{49}=7$, то $\sqrt{52}$ трохи більше $7$ (близько $7,2$).

3. Отже, $x<7,2$. Найбільше натуральне число, що задовольняє умову $2<x<10$ та $x<7,2$, це $7$.