ГДЗ · Геометрія · 9 клас

Сторінка 23

Геометрія, Мерзляк А. Г., Якір М. С., 2026 · № 2.3–2.5 · 3 завдання

Повні розв’язки, як у зошиті. Хочеш розібратися самостійно — під кожним завданням є «Пояснення з репетитором».

§ 1. Розв’язування трикутників

Завдання 2.3

Знаходження сторони трикутника за теоремою косинусів

У трикутнику (рис. а): сторона $7$ , сторона $18$ , кут між ними $4 5^{\circ}$ , третя сторона $x$ . У трикутнику (рис. б): сторона $2$ , сторона $27$ , кут між ними $15 0^{\circ}$ , третя сторона $x$ .

Розв’язання

Для першого трикутника (рис. а): $x^{2} = 7^{2} + (18)^{2} - 2 \cdot 7 \cdot 18 \cdot cos 4 5^{\circ}$ .
Обчислюємо значення: $x^{2} = 49 + 18 - 14 \cdot 32 \cdot \frac{2}{2} = 67 - 42 = 25$ .
Знаходимо $x$ : $x = 25 = 5$ см.
Для другого трикутника (рис. б): $x^{2} = 2^{2} + (27)^{2} - 2 \cdot 2 \cdot 27 \cdot cos 15 0^{\circ}$ .
Обчислюємо значення: $x^{2} = 4 + 27 - 4 \cdot 33 \cdot (- \frac{3}{2}) = 31 + 18 = 49$ .
Знаходимо $x$ : $x = 49 = 7$ см.

Відповідь:

Для рисунка а: $5$ см; для рисунка б: $7$ см.

Завдання 2.4

Знаходження катета прямокутного трикутника

У трикутнику (рис. а): катет $1$ , гіпотенуза $2$ , гострий кут між ними $6 0^{\circ}$ , другий катет $x$ . У трикутнику (рис. б): сторона $2$ , сторона $1, 4$ , тупий кут між ними $13 5^{\circ}$ , третя сторона $x$ .

Розв’язання

Для першого трикутника (рис. а): $x^{2} = 1^{2} + 2^{2} - 2 \cdot 1 \cdot 2 \cdot cos 6 0^{\circ}$ .
Обчислюємо: $x^{2} = 1 + 4 - 4 \cdot \frac{1}{2} = 5 - 2 = 3$ .
Знаходимо $x$ : $x = 3$ см.
Для другого трикутника (рис. б): $x^{2} = (2)^{2} + 1, 4^{2} - 2 \cdot 2 \cdot 1, 4 \cdot cos 13 5^{\circ}$ .
Обчислюємо: $x^{2} = 2 + 1, 96 - 2, 82 \cdot (- \frac{2}{2}) = 3, 96 + 2, 8 = 6, 76$ .
Знаходимо $x$ : $x = 6, 76 = 2, 6$ см.

Відповідь:

Для рисунка а: $3$ см; для рисунка б: $2, 6$ см.

Завдання 2.5

Знаходження сторони трикутника за двома сторонами та кутом між ними

Трикутник $A B C$ .
1) $A C = 3$ см, $B C = 4$ см, $cos C = - \frac{11}{24}$ .
2) $A B = 5$ см, $B C = 8$ см, $∠ B = 6 0^{\circ}$ .
3) $A B = 3$ см, $A C = 22$ см, $∠ A = 13 5^{\circ}$ .

Розв’язання

Нехай $A B = c$ . Тоді $c^{2} = 3^{2} + 4^{2} - 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot (- \frac{11}{24}) = 9 + 16 + 8 \cdot \frac{11}{2} = 25 + 44 = 69$ . Отже, $c = 69$ см.
Нехай $A C = a$ . Тоді $a^{2} = 5^{2} + 8^{2} - 2 \cdot 5 \cdot 8 \cdot cos 6 0^{\circ} = 25 + 64 - 80 \cdot \frac{1}{2} = 89 - 40 = 49$ . Отже, $a = 7$ см.
Нехай $B C = a$ . Тоді $a^{2} = 3^{2} + (22)^{2} - 2 \cdot 3 \cdot 22 \cdot cos 13 5^{\circ} = 9 + 8 - 122 \cdot (- \frac{2}{2}) = 17 + 12 = 29$ . Отже, $a = 29$ см.

Відповідь:

1) $69$ см; 2) $7$ см; 3) $29$ см.