Завдання 2.53, § 1. Розв’язування трикутників — ГДЗ Геометрія 9 клас Мерзляк А. Г.

Завдання 2.53

Рівнобедрений трикутник АCD

У рівнобедреному трикутнику $A B C$ ( $A B = B C$ ) кут при вершині $∠ A B C = 12 0^{\circ}$ . На продовженні сторони $A B$ за точку $B$ взята точка $D$ так, що відрізок $B D$ у два рази довший за $A B$ ( $B D = 2 A B$ ). Потрібно довести, що трикутник $A C D$ є рівнобедреним.

Розв’язання

Позначимо $A B = B C = x$ . Тоді за умовою $B D = 2 x$ , а відрізок $A D = A B + B D = x + 2 x = 3 x$ .
Знайдемо кут $∠ B A C$ у трикутнику $A B C$ : оскільки він рівнобедрений і $∠ A B C = 12 0^{\circ}$ , то $∠ B A C = ∠ B C A = (18 0^{\circ} - 12 0^{\circ}) /2 = 3 0^{\circ}$ .
Знайдемо довжину сторони $A C$ за теоремою косинусів у $△ A B C$ : $A C^{2} = x^{2} + x^{2} - 2 x \cdot x cos 12 0^{\circ} = 2 x^{2} - 2 x^{2} (- 0, 5) = 3 x^{2}$ , отже $A C = x 3$ .
Знайдемо довжину сторони $C D$ за теоремою косинусів у $△ C B D$ : кут $∠ C B D$ є прилеглим до $∠ A B C$ , тому $∠ C B D = 18 0^{\circ} - 12 0^{\circ} = 6 0^{\circ}$ . Сторони $B C = x, B D = 2 x$ .
Обчислимо $C D^{2} = x^{2} + (2 x)^{2} - 2 \cdot x \cdot 2 x cos 6 0^{\circ} = x^{2} + 4 x^{2} - 4 x^{2} (0, 5) = 5 x^{2} - 2 x^{2} = 3 x^{2}$ .
Отже, $C D = x 3$ . Порівнюючи з кроком 3, бачимо, що $A C = C D$ .

Відповідь:

Трикутник $A C D$ рівнобедрений ( $A C = C D$ ).

Розбір зрозумілий?

§ 1. Розв’язування трикутників Завдання 2.53 с. 27

Рівнобедрений трикутник АCD

Умова

Що треба знати

Оскільки $△ A B C$ — рівнобедрений з кутом при вершині $12 0^{\circ}$ , то кутів при основі по $3 0^{\circ}$ . Зовнішній кут трикутника дорівнює сумі протилежних внутрішніх кутів. У прямокутному трикутнику гіпотенуза більша за катет у $2$ разів, або скористаємося властивостями рівнобедреного трикутника та теоремою косинусів (або побудовою).

💡 Підказка — спробуй спершу сам

Спробуйте розглянути кут $∠ C A D$ і порівняти його з кутом $∠ A C D$ . Для цього знайдіть відношення сторін $A C$ та $C D$ , або покажіть, що вони рівні. Можна скористатися теоремою косинусів для знаходження довжини $A C$ і $C D$ .

Розв’язання крок за кроком

Позначимо $A B = B C = x$ . Тоді за умовою $B D = 2 x$ , а відрізок $A D = A B + B D = x + 2 x = 3 x$ .
Знайдемо кут $∠ B A C$ у трикутнику $A B C$ : оскільки він рівнобедрений і $∠ A B C = 12 0^{\circ}$ , то $∠ B A C = ∠ B C A = (18 0^{\circ} - 12 0^{\circ}) /2 = 3 0^{\circ}$ .
Знайдемо довжину сторони $A C$ за теоремою косинусів у $△ A B C$ : $A C^{2} = x^{2} + x^{2} - 2 x \cdot x cos 12 0^{\circ} = 2 x^{2} - 2 x^{2} (- 0, 5) = 3 x^{2}$ , отже $A C = x 3$ .
Знайдемо довжину сторони $C D$ за теоремою косинусів у $△ C B D$ : кут $∠ C B D$ є прилеглим до $∠ A B C$ , тому $∠ C B D = 18 0^{\circ} - 12 0^{\circ} = 6 0^{\circ}$ . Сторони $B C = x, B D = 2 x$ .
Обчислимо $C D^{2} = x^{2} + (2 x)^{2} - 2 \cdot x \cdot 2 x cos 6 0^{\circ} = x^{2} + 4 x^{2} - 4 x^{2} (0, 5) = 5 x^{2} - 2 x^{2} = 3 x^{2}$ .
Отже, $C D = x 3$ . Порівнюючи з кроком 3, бачимо, що $A C = C D$ .

Відповідь:

Трикутник $A C D$ рівнобедрений ( $A C = C D$ ).

Розбір зрозумілий?