Завдання 2.52, § 1. Розв’язування трикутників — ГДЗ Геометрія 9 клас Мерзляк А. Г.

Завдання 2.52

Знаходження третьої сторони за двома сторонами та медіаною

Дві сторони трикутника дорівнюють $12 см$ і $14 см$ , а медіана, проведена до третьої сторони, — $7 см$ . Знайдіть невідому сторону трикутника.

Розв’язання

Нехай $A B C$ — заданий трикутник, $A M$ — медіана ( $M \in B C$ ), $A M = 7 см$ . Побудуємо точку $B^{'}$ симетричну точці $B$ відносно точки $M$ . Тоді $M B = M B^{'}$ .
Оскільки $A B = 12 см$ , то в трикутнику $A B^{'} M$ сторона $A B^{'} = A B = 12 см$ . Сторона $A M = 7 см$ . У трикутнику $A B^{'} C$ сторона $A C = 14 см$ .
Зверніть увагу, що $M$ є серединою $B C$ , тому $B M = M C$ . Оскільки $B^{'}$ симетрична $B$ відносно $M$ , то $M B^{'} = M B = M C$ . Отже, у трикутнику $A B^{'} C$ точка $M$ лежить на стороні $B^{'} C$ і ділить її навпіл? Ні, $M$ — середина $B C$ , а $C$ — вершина. Розглянемо трикутник $A B^{'} C$ . Сторона $A C = 14 см$ . Сторона $A B^{'} = 12 см$ . Сторона $B^{'} C = B^{'} M + M C = B M + M C = B C$ . Але нам потрібно знайти $B C$ .
Правильніший підхід через формулу медіани або побудову паралелограма.
Спробуємо метод побудови: Розглянемо трикутник $A B C$ з $A B = 12$ , $A C = 14$ , $A M = 7$ . Побудуємо точку $C^{'}$ симетричну $C$ відносно $M$ . Тоді $M C = M C^{'}$ . Трикутник $A B C^{'}$ має сторони $A B^{'} = 12$ (де $B^{'} = B$ ), $A C^{'} = B C$ (невідома), $A C = 14$ . Це не допомагає без кута.
Спробуємо формулу медіани: $4 m_{a}^{2} = 2 b^{2} + 2 c^{2} - a^{2}$ , де $a$ — шукана сторона, $b = 12$ , $c = 14$ , $m_{a} = 7$ .
$4 \cdot 7^{2} = 2 \cdot 1 2^{2} + 2 \cdot 1 4^{2} - a^{2}$ .
$4 \cdot 49 = 2 \cdot 144 + 2 \cdot 196 - a^{2}$ .
$196 = 288 + 392 - a^{2}$ .
$196 = 680 - a^{2}$ .
$a^{2} = 680 - 196 = 484$ .
$a = 484 = 22 см$ .
КРОКИ (альтернативний, більш геометричний):
Нехай $A B C$ — трикутник, $A B = 12$ , $A C = 14$ , медіана $A M = 7$ . Побудуємо точку $B^{'}$ симетричну точці $B$ відносно точки $M$ .
Тоді $M B = M B^{'}$ . Оскільки $M$ — середина $B C$ , то $M C = M B$ . Отже, $M C = M B^{'}$ . Трикутник $A B^{'} C$ має сторони $A C = 14$ , $A B^{'} = A B = 12$ , а сторона $B^{'} C = B^{'} M + M C = B M + M C = B C = a$ .
Розглянемо трикутник $A B^{'} C$ . У ньому $M$ — середина $B^{'} C$ ? Ні, $M$ лежить на $B C$ , а $C$ — вершина. Правильно: побудуємо точку $C^{'}$ симетричну $C$ відносно $M$ . Тоді $M C = M C^{'}$ . Трикутник $A B C^{'}$ має сторони $A B = 12$ , $A C^{'} = B C = a$ , $A C = 14$ . Це не допомагає.
Давайте використаємо властивість паралелограма. Продовжимо медіану $A M$ до точки $K$ так, що $A M = M K = 7 см$ . З'єднаємо $B$ з $K$ і $C$ з $K$ . Чотирикутник $A B K C$ є паралелограмом (діагоналі ділять навпіл).
У паралелограмі протилежні сторони рівні: $B K = A C = 14 см$ , $C K = A B = 12 см$ .
Розглянемо трикутник $A B K$ (або $A C K$ ). У трикутнику $A B K$ сторони: $A B = 12$ , $B K = 14$ , $A K = A M + M K = 7 + 7 = 14 см$ .
Трикутник $A B K$ має сторони $12, 14, 14$ . Це рівнобедрений трикутник з основою $A B = 12$ і бічними сторонами $14$ .
Нам потрібно знайти сторону $B C$ паралелограма? Ні, ми шукаємо сторону $B C$ оригінального трикутника. У паралелограмі $A B K C$ , діагональ $A C$ не є стороною $B C$ . Сторона $B C$ складається з $B M + M C$ . У паралелограмі $A B K C$ , сторона $B K = A C = 14$ . Сторона $C K = A B = 12$ .
Розглянемо трикутник $B K C$ . Його сторони: $B K = 14$ , $C K = 12$ , а третя сторона $B C$ — це те, що ми шукаємо? Ні, $B C$ — це діагональ паралелограма? Ні, $B C$ — це сторона, яка ділиться на $B M$ і $M C$ . У паралелограмі $A B K C$ , вершини $A, B, K, C$ . Сторони: $A B, B K, K C, C A$ . Діагоналі $A K$ і $B C$ .
Отже, у трикутнику $B K C$ сторони: $B K = 14$ , $C K = 12$ , а кут між ними? Не знаємо. Але ми знаємо діагональ $A K = 14$ .
Розглянемо трикутник $A B K$ : сторони $12, 14, 14$ . Знайдемо косинус кута $∠ B A K$ або $∠ A B K$ . Нехай $∠ A B K = β$ . За теоремою косинусів для $A K$ : $A K^{2} = A B^{2} + B K^{2} - 2 \cdot A B \cdot B K \cdot cos β$ .
$1 4^{2} = 1 2^{2} + 1 4^{2} - 2 \cdot 12 \cdot 14 \cdot cos β$ .
$0 = 144 - 336 cos β$ .
$cos β = \frac{144}{336} = \frac{3}{7}$ .
Тепер розглянемо трикутник $B K C$ . Сторони $B K = 14$ , $C K = 12$ . Кут $∠ K B C$ ? У паралелограмі протилежні кути рівні, суміжні — доповнюють до 180. Це складно.
Спробуємо інший шлях: трикутник $A B K$ має сторони $12, 14, 14$ . Знайдемо висоту або площу.
Або використаємо формулу медіани знову, вона найпростіша.
$a^{2} = 2 b^{2} + 2 c^{2} - 4 m_{a}^{2} = 2 (144) + 2 (196) - 4 (49) = 288 + 392 - 196 = 484$ .
$a = 22 см$ .

Відповідь:

$22 см$

Розбір зрозумілий?