Завдання 2.51, § 1. Розв’язування трикутників — ГДЗ Геометрія 9 клас Мерзляк А. Г.

Завдання 2.51

Бічна сторона рівнобедреного трикутника

Основа рівнобедреного трикутника $42 см$ , медіана до бічної сторони — $5 см$ . Знайти бічну сторону.

Розв’язання

Позначимо бічну сторону як $x$ . Медіана $m_{a} = 5 см$ ділить її навпіл, отже $A M = x /2$ . Основа $B C = 42$ . Сторони $A B = A C = x$ .
Розглянемо $△ A B C$ . Медіана $A D$ (де $D$ на $B C$ ) ділить основу навпіл, тобто $B D = D C = 22$ . Але в умові сказано "медіана, проведена до бічної сторони". Тобто медіана з вершини основи до бічної сторони.
Позначимо медіану $A D$ , де $D$ — середина $A C$ . Тоді $C D = x /2$ . Розглянемо $△ A D C$ (якщо провести висоту) або скористатися формулою Аполлонія для медіани до сторони $b$ : $4 m_{b}^{2} = 2 a^{2} + 2 c^{2} - b^{2}$ . Тут $a = b = x$ , $c = 42$ , $m_{b} = 5$ .
Підставимо в формулу: $4 \cdot 5^{2} = 2 x^{2} + 2 (42)^{2} - x^{2}$ . $100 = 2 x^{2} + 32 - x^{2}$ . $100 = x^{2} + 32$ .

Відповідь:

$x^{2} = 68$ , отже бічна сторона дорівнює $68 = 217 см$

Розбір зрозумілий?

§ 1. Розв’язування трикутників Завдання 2.51 с. 27

Бічна сторона рівнобедреного трикутника

Умова

Основа рівнобедреного трикутника $42 см$ , медіана до бічної сторони — $5 см$ . Знайти бічну сторону.

Що треба знати

Медіана до бічної сторони рівнобедреного трикутника є висотою для основи, якщо розглядати її як основу прямокутного трикутника? Ні, медіана ділить бічну сторону навпіл і не обов'язково перпендикулярна основі. Однак, медіана до бічної сторони в рівнобедреному трикутнику є висотою для основи лише якщо це рівносторонній? Ні. Медіана до бічної сторони ділить її навпіл.

💡 Підказка — спробуй спершу сам

Позначимо бічну сторону як $x$ . Медіана ділить її на $x /2$ . Розглянемо прямокутний трикутник, утворений медіаною, половиною основи та частиною бічної сторони? Ні, медіана до бічної сторони не є висотою. Але ми можемо використати теорему косинусів або властивість медіани.

Розв’язання крок за кроком

Позначимо бічну сторону як $x$ . Медіана $m_{a} = 5 см$ ділить її навпіл, отже $A M = x /2$ . Основа $B C = 42$ . Сторони $A B = A C = x$ .
Розглянемо $△ A B C$ . Медіана $A D$ (де $D$ на $B C$ ) ділить основу навпіл, тобто $B D = D C = 22$ . Але в умові сказано "медіана, проведена до бічної сторони". Тобто медіана з вершини основи до бічної сторони.
Позначимо медіану $A D$ , де $D$ — середина $A C$ . Тоді $C D = x /2$ . Розглянемо $△ A D C$ (якщо провести висоту) або скористатися формулою Аполлонія для медіани до сторони $b$ : $4 m_{b}^{2} = 2 a^{2} + 2 c^{2} - b^{2}$ . Тут $a = b = x$ , $c = 42$ , $m_{b} = 5$ .
Підставимо в формулу: $4 \cdot 5^{2} = 2 x^{2} + 2 (42)^{2} - x^{2}$ . $100 = 2 x^{2} + 32 - x^{2}$ . $100 = x^{2} + 32$ .

Відповідь:

$x^{2} = 68$ , отже бічна сторона дорівнює $68 = 217 см$

Розбір зрозумілий?