Завдання 2.44, § 1. Розв’язування трикутників — ГДЗ Геометрія 9 клас Мерзляк А. Г.

Завдання 2.44

Знаходження косинуса кута трапеції

У трапеції $A B C D$ ( $A D ∥ B C$ ) відомо: $A B = 15 см$ , $B C = 6 см$ , $C D = 4 см$ , $A D = 11 см$ . Знайти $cos D$ .

Розв’язання

Проведемо висоту $C K ⊥ A D$ . Нехай $C K = h$ . У прямокутному $△ C D K$ : $D K = C D \cdot cos D = 4 cos D$ , а $h = C D sin D = 4 sin D$ .
Проведемо також висоту з $B$ на $A D$ (точка $M$ ). Тоді $M K = B C = 6 см$ . Довжина відрізку $A M = A D - M K - D K = 11 - 6 - 4 cos D = 5 - 4 cos D$ .
У прямокутному $△ A B M$ : $A B^{2} = A M^{2} + B M^{2}$ . Оскільки $B M = C K = h$ , маємо: $(15)^{2} = (5 - 4 cos D)^{2} + (4 sin D)^{2}$ .
Розкриваємо дужки: $15 = 25 - 40 cos D + 16 cos^{2} D + 16 sin^{2} D$ . Оскільки $cos^{2} D + sin^{2} D = 1$ , то $15 = 25 - 40 cos D + 16 (1) = 41 - 40 cos D$ .
Переносимо доданки: $40 cos D = 41 - 15 = 26$ . Отже, $cos D = \frac{26}{40} = \frac{13}{20}$ .

Відповідь:

$cos D = \frac{13}{20}$ .

Розбір зрозумілий?

§ 1. Розв’язування трикутників Завдання 2.44 с. 27

Знаходження косинуса кута трапеції

Умова

У трапеції $A B C D$ ( $A D ∥ B C$ ) відомо: $A B = 15 см$ , $B C = 6 см$ , $C D = 4 см$ , $A D = 11 см$ . Знайти $cos D$ .

Що треба знати

Для знаходження косинуса кута при основі трапеції потрібно розбити її на прямокутний трикутник та рівнобедрену трапецію (або квадрат). Використовуємо властивість, що проекція бічної сторони на основу дорівнює різниці половини суми основ у випадку рівнобедреної трапеції, але тут вона не рівнобедрена.

💡 Підказка — спробуй спершу сам

Проведемо висоту з вершини $C$ на основу $A D$ , позначимо точку перетину як $K$ . Знайдіть довжину відрізку $D K$ , використовуючи те, що $A K = A D - D K - B C$ .

Розв’язання крок за кроком

Проведемо висоту $C K ⊥ A D$ . Нехай $C K = h$ . У прямокутному $△ C D K$ : $D K = C D \cdot cos D = 4 cos D$ , а $h = C D sin D = 4 sin D$ .
Проведемо також висоту з $B$ на $A D$ (точка $M$ ). Тоді $M K = B C = 6 см$ . Довжина відрізку $A M = A D - M K - D K = 11 - 6 - 4 cos D = 5 - 4 cos D$ .
У прямокутному $△ A B M$ : $A B^{2} = A M^{2} + B M^{2}$ . Оскільки $B M = C K = h$ , маємо: $(15)^{2} = (5 - 4 cos D)^{2} + (4 sin D)^{2}$ .
Розкриваємо дужки: $15 = 25 - 40 cos D + 16 cos^{2} D + 16 sin^{2} D$ . Оскільки $cos^{2} D + sin^{2} D = 1$ , то $15 = 25 - 40 cos D + 16 (1) = 41 - 40 cos D$ .
Переносимо доданки: $40 cos D = 41 - 15 = 26$ . Отже, $cos D = \frac{26}{40} = \frac{13}{20}$ .

Відповідь:

$cos D = \frac{13}{20}$ .

Розбір зрозумілий?