Завдання 2.45, § 1. Розв’язування трикутників — ГДЗ Геометрія 9 клас Мерзляк А. Г.

Завдання 2.45

Знаходження діагоналі вписаного чотирикутника

Чотирикутник $A B C D$ описаний навколо кола ( $A B = 3 см$ , $B C = 4 см$ , $C D = 5 см$ , $A D = 6 см$ ). Знайти діагональ $A C$ .

Розв’язання

Позначимо $∠ B = α$ . Тоді $∠ D = 18 0^{\circ} - α$ , звідки $cos D = - cos α$ .
За теоремою косинусів у $△ A B C$ : $A C^{2} = A B^{2} + B C^{2} - 2 A B \cdot B C cos α = 3^{2} + 4^{2} - 2 \cdot 3 \cdot 4 cos α = 25 - 24 cos α$ .
За теоремою косинусів у $△ A D C$ : $A C^{2} = A D^{2} + C D^{2} - 2 A D \cdot C D cos D = 6^{2} + 5^{2} - 2 \cdot 6 \cdot 5 (- cos α) = 36 + 25 + 60 cos α = 61 + 60 cos α$ .
Прирівнюємо вирази для $A C^{2}$ : $25 - 24 cos α = 61 + 60 cos α$ . Переносимо: $- 36 = 84 cos α$ , звідки $cos α = - \frac{36}{84} = - \frac{3}{7}$ .
Підставляємо значення $cos α$ у перше рівняння: $A C^{2} = 25 - 24 \cdot (- \frac{3}{7}) = 25 + \frac{72}{7} = \frac{175 + 72}{7} = \frac{247}{7}$ . Тоді $A C = \frac{247}{7}$ .

Відповідь:

$A C = \frac{247}{7} см$ .

Розбір зрозумілий?

§ 1. Розв’язування трикутників Завдання 2.45 с. 27

Знаходження діагоналі вписаного чотирикутника

Умова

Чотирикутник $A B C D$ описаний навколо кола ( $A B = 3 см$ , $B C = 4 см$ , $C D = 5 см$ , $A D = 6 см$ ). Знайти діагональ $A C$ .

Що треба знати

Оскільки чотирикутник описаний навколо кола, сума протилежних сторін рівна ( $A B + C D = B C + A D$ ). Для знаходження діагоналі використаємо теорему косинусів у $△ A B C$ та $△ A D C$ , враховуючи властивість вписаного чотирикутника: протилежні кути сумуються до $18 0^{\circ}$ .

💡 Підказка — спробуй спершу сам

Позначимо $∠ B = α$ . Тоді $∠ D = 18 0^{\circ} - α$ , отже $cos D = - cos α$ . Запишемо вирази для $A C^{2}$ через косинуси кутів $B$ і $D$ та прирівняємо їх.

Розв’язання крок за кроком

Позначимо $∠ B = α$ . Тоді $∠ D = 18 0^{\circ} - α$ , звідки $cos D = - cos α$ .
За теоремою косинусів у $△ A B C$ : $A C^{2} = A B^{2} + B C^{2} - 2 A B \cdot B C cos α = 3^{2} + 4^{2} - 2 \cdot 3 \cdot 4 cos α = 25 - 24 cos α$ .
За теоремою косинусів у $△ A D C$ : $A C^{2} = A D^{2} + C D^{2} - 2 A D \cdot C D cos D = 6^{2} + 5^{2} - 2 \cdot 6 \cdot 5 (- cos α) = 36 + 25 + 60 cos α = 61 + 60 cos α$ .
Прирівнюємо вирази для $A C^{2}$ : $25 - 24 cos α = 61 + 60 cos α$ . Переносимо: $- 36 = 84 cos α$ , звідки $cos α = - \frac{36}{84} = - \frac{3}{7}$ .
Підставляємо значення $cos α$ у перше рівняння: $A C^{2} = 25 - 24 \cdot (- \frac{3}{7}) = 25 + \frac{72}{7} = \frac{175 + 72}{7} = \frac{247}{7}$ . Тоді $A C = \frac{247}{7}$ .

Відповідь:

$A C = \frac{247}{7} см$ .

Розбір зрозумілий?