Завдання 2.43, § 1. Розв’язування трикутників — ГДЗ Геометрія 9 клас Мерзляк А. Г.

Завдання 2.43

Знаходження сторони трапеції

У трапеції $A B C D$ ( $A D ∥ B C$ ) відомо: $A B = 5 см$ , $B C = 9 см$ , $A D = 16 см$ , $cos A = \frac{1}{7}$ . Знайти сторону $C D$ .

Розв’язання

Проведемо висоту $B H ⊥ A D$ . У прямокутному $△ A B H$ : $A H = A B \cdot cos A = 5 \cdot \frac{1}{7} = \frac{5}{7} см$ , а $B H = A B^{2} - A H^{2} = 25 - \frac{25}{49} = \frac{1200}{49} = \frac{20 3}{7} см$ .
Позначимо точку $K$ на основі $A D$ так, що $B K C D$ стане рівнобедреною трапецією (або просто розглянемо проекцію). Проведемо через $B$ пряму, паралельну бічній стороні $C D$ , яка перетне $A D$ у точці $K$ . Тоді $A B K D$ — трапеція, а $B K C D$ — рівнобедрена. Але простіше: проведемо висоту з $C$ на $A D$ (точка $L$ ). Тоді $K L = B C = 9 см$ .
Довжина відрізку $A L = A H + H L = \frac{5}{7} + 9 = \frac{68}{7} см$ . Оскільки $A D = 16 см$ , то $L D = A D - A L = 16 - \frac{68}{7} = \frac{112 - 68}{7} = \frac{44}{7} см$ .
У прямокутному $△ B L C$ (де $C L = B H$ ): $C D^{2} = C L^{2} + L D^{2} = (\frac{20 3}{7})^{2} + (\frac{44}{7})^{2} = \frac{1200}{49} + \frac{1936}{49} = \frac{3136}{49}$ .
$C D = \frac{3136}{49} = \frac{56}{7} = 8 см$ .

Відповідь:

$C D = 8 см$ .

Розбір зрозумілий?

§ 1. Розв’язування трикутників Завдання 2.43 с. 27

Знаходження сторони трапеції

Умова

У трапеції $A B C D$ ( $A D ∥ B C$ ) відомо: $A B = 5 см$ , $B C = 9 см$ , $A D = 16 см$ , $cos A = \frac{1}{7}$ . Знайти сторону $C D$ .

Що треба знати

Щоб знайти невідому сторону трапеції, зручно провести висоту з вершини $B$ на основу $A D$ , утворивши прямокутний трикутник. Сторона $C D$ знайдеться через властивість рівнобедреного трикутника або за теоремою косинусів, якщо побудувати допоміжну лінію.

💡 Підказка — спробуй спершу сам

Проведіть висоту з точки $B$ на пряму $A D$ , позначте точку перетину як $H$ . Знайдіть довжину відрізку $A H$ у прямокутному трикутнику $A B H$ . Оскільки трапеція не рівнобедрена, розгляньте різницю основ.

Розв’язання крок за кроком

Проведемо висоту $B H ⊥ A D$ . У прямокутному $△ A B H$ : $A H = A B \cdot cos A = 5 \cdot \frac{1}{7} = \frac{5}{7} см$ , а $B H = A B^{2} - A H^{2} = 25 - \frac{25}{49} = \frac{1200}{49} = \frac{20 3}{7} см$ .
Позначимо точку $K$ на основі $A D$ так, що $B K C D$ стане рівнобедреною трапецією (або просто розглянемо проекцію). Проведемо через $B$ пряму, паралельну бічній стороні $C D$ , яка перетне $A D$ у точці $K$ . Тоді $A B K D$ — трапеція, а $B K C D$ — рівнобедрена. Але простіше: проведемо висоту з $C$ на $A D$ (точка $L$ ). Тоді $K L = B C = 9 см$ .
Довжина відрізку $A L = A H + H L = \frac{5}{7} + 9 = \frac{68}{7} см$ . Оскільки $A D = 16 см$ , то $L D = A D - A L = 16 - \frac{68}{7} = \frac{112 - 68}{7} = \frac{44}{7} см$ .
У прямокутному $△ B L C$ (де $C L = B H$ ): $C D^{2} = C L^{2} + L D^{2} = (\frac{20 3}{7})^{2} + (\frac{44}{7})^{2} = \frac{1200}{49} + \frac{1936}{49} = \frac{3136}{49}$ .
$C D = \frac{3136}{49} = \frac{56}{7} = 8 см$ .

Відповідь:

$C D = 8 см$ .

Розбір зрозумілий?