Завдання 2.8, § 1. Розв’язування трикутників

Розв’язання крок за кроком

1. Знайдемо діагональ $AC$ у $△ADC$:
   За теоремою косинусів: $A{C}^2=A{D}^2+C{D}^2-2\cdot AD\cdot CD\cdot \cos D$;
   $A{C}^2=10^2+4^2-2\cdot 10\cdot 4\cdot \cos 60^{\circ }$;
   $A{C}^2=100+16-80\cdot 0,5=116-40=76$.
   $AC=\sqrt{76}=2\sqrt{19}$ см.

2. Знайдемо діагональ $BD$. Проведемо через точку $C$ пряму, паралельну до $AB$, що перетне $AD$ у точці $K$. Тоді $AKBC$ — паралелограм, $AK=BC=3$, $KD=AD-AK=10-3=7$. У $△BCD$ кут при основі невідомий.
   Альтернативний спосіб: Розглянемо трикутник $BCD$. Проведемо висоту з $C$ на $AD$. Висота $h=CD\cdot \sin 60^{\circ }=4\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}$. Проекція $CD$ на $AD$: $p=CD\cdot \cos 60^{\circ }=4\cdot 0,5=2$.
   Координати: $D(0,0)$, $A(10,0)$, $C(2,2\sqrt{3})$, $B(x,2\sqrt{3})$. Оскільки $BC=3$ і $BC\parallel AD$, то $x_B=x_C+3=5$. Точка $B(5,2\sqrt{3})$.
   Знайдемо відстань $BD$: $B{D}^2=(5-0{)}^2+(2\sqrt{3}-0{)}^2=25+12=37$.
   $BD=\sqrt{37}$ см.