Завдання 2.9, § 1. Розв’язування трикутників — ГДЗ Геометрія 9 клас Мерзляк А. Г.

Завдання 2.9

Косинуси кутів трикутника

Сторони трикутника $a = 3$ см, $b = 10$ см, $c = 11$ см. Знайти косинуси всіх трьох кутів.

Розв’язання

Знайдемо $cos γ$ (кут між сторонами 3 і 10, протилежний стороні 11):
$cos γ = \frac{3 ^{2} + 1 0 ^{2} - 1 1 ^{2}}{2 \cdot 3 \cdot 10} = \frac{9 + 100 - 121}{60} = \frac{- 12}{60} = - 0, 2$ .
Знайдемо $cos β$ (кут між сторонами 3 і 11, протилежний стороні 10):
$cos β = \frac{3 ^{2} + 1 1 ^{2} - 1 0 ^{2}}{2 \cdot 3 \cdot 11} = \frac{9 + 121 - 100}{66} = \frac{30}{66} = \frac{5}{11}$ .
Знайдемо $cos α$ (кут між сторонами 10 і 11, протилежний стороні 3):
$cos α = \frac{1 0 ^{2} + 1 1 ^{2} - 3 ^{2}}{2 \cdot 10 \cdot 11} = \frac{100 + 121 - 9}{220} = \frac{212}{220} = \frac{53}{55}$ .

Відповідь:

Косинуси кутів дорівнюють $- 0, 2$ , $\frac{5}{11}$ і $\frac{53}{55}$ .

Розбір зрозумілий?

§ 1. Розв’язування трикутників Завдання 2.9 с. 24

Косинуси кутів трикутника

Умова

Сторони трикутника $a = 3$ см, $b = 10$ см, $c = 11$ см. Знайти косинуси всіх трьох кутів.

Що треба знати

Косинус кута знаходять за формулою теореми косинусів: $cos α = \frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}$ , де $a$ — сторона протилежна куту $α$ .

💡 Підказка — спробуй спершу сам

Знайдіть найбільший кут (протилежний найдовшій стороні) і застосуйте формулу. Потім знайдіть косинуси інших кутів, використовуючи знайдені значення та властивості трикутника.

Розв’язання крок за кроком

Знайдемо $cos γ$ (кут між сторонами 3 і 10, протилежний стороні 11):
$cos γ = \frac{3 ^{2} + 1 0 ^{2} - 1 1 ^{2}}{2 \cdot 3 \cdot 10} = \frac{9 + 100 - 121}{60} = \frac{- 12}{60} = - 0, 2$ .
Знайдемо $cos β$ (кут між сторонами 3 і 11, протилежний стороні 10):
$cos β = \frac{3 ^{2} + 1 1 ^{2} - 1 0 ^{2}}{2 \cdot 3 \cdot 11} = \frac{9 + 121 - 100}{66} = \frac{30}{66} = \frac{5}{11}$ .
Знайдемо $cos α$ (кут між сторонами 10 і 11, протилежний стороні 3):
$cos α = \frac{1 0 ^{2} + 1 1 ^{2} - 3 ^{2}}{2 \cdot 10 \cdot 11} = \frac{100 + 121 - 9}{220} = \frac{212}{220} = \frac{53}{55}$ .

Відповідь:

Косинуси кутів дорівнюють $- 0, 2$ , $\frac{5}{11}$ і $\frac{53}{55}$ .

Розбір зрозумілий?