Завдання 2.7, § 1. Розв’язування трикутників — ГДЗ Геометрія 9 клас Мерзляк А. Г.

Завдання 2.7

Діагоналі паралелограма

Сторони $a = 22$ см, $b = 5$ см, кут $α = 4 5^{\circ}$ . Знайти діагоналі $d_{1}$ і $d_{2}$ .

Розв’язання

Знайдемо першу діагональ $d_{1}$ :
$d_{1}^{2} = (22)^{2} + 5^{2} - 2 \cdot 22 \cdot 5 \cdot cos 4 5^{\circ}$ ;
$d_{1}^{2} = 8 + 25 - 202 \cdot \frac{2}{2}$ ;
$d_{1}^{2} = 33 - 20 = 13$ .
Знайдемо другу діагональ $d_{2}$ через кут $18 0^{\circ} - 4 5^{\circ} = 13 5^{\circ}$ :
$d_{2}^{2} = (22)^{2} + 5^{2} - 2 \cdot 22 \cdot 5 \cdot cos 13 5^{\circ}$ ;
$cos 13 5^{\circ} = - \frac{2}{2}$ , тому $d_{2}^{2} = 8 + 25 - 202 \cdot (- \frac{2}{2})$ ;
$d_{2}^{2} = 33 + 20 = 53$ .

Відповідь:

Діагоналі дорівнюють $13$ см і $53$ см.

Розбір зрозумілий?

§ 1. Розв’язування трикутників Завдання 2.7 с. 24

Діагоналі паралелограма

Умова

Сторони $a = 22$ см, $b = 5$ см, кут $α = 4 5^{\circ}$ . Знайти діагоналі $d_{1}$ і $d_{2}$ .

Що треба знати

Діагоналі паралелограма знаходять через теорему косинусів для двох трикутників, утворених діагоналлю. Формули: $d_{1}^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 ab cos α$ і $d_{2}^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 ab cos (18 0^{\circ} - α)$ .

💡 Підказка — спробуй спершу сам

Спочатку знайдіть квадрат першої діагоналі, використовуючи кут $4 5^{\circ}$ , а потім — квадрат другої діагоналі, враховуючи, що сумарний кут між сторонами в паралелограмі $18 0^{\circ}$ .

Розв’язання крок за кроком

Знайдемо першу діагональ $d_{1}$ :
$d_{1}^{2} = (22)^{2} + 5^{2} - 2 \cdot 22 \cdot 5 \cdot cos 4 5^{\circ}$ ;
$d_{1}^{2} = 8 + 25 - 202 \cdot \frac{2}{2}$ ;
$d_{1}^{2} = 33 - 20 = 13$ .
Знайдемо другу діагональ $d_{2}$ через кут $18 0^{\circ} - 4 5^{\circ} = 13 5^{\circ}$ :
$d_{2}^{2} = (22)^{2} + 5^{2} - 2 \cdot 22 \cdot 5 \cdot cos 13 5^{\circ}$ ;
$cos 13 5^{\circ} = - \frac{2}{2}$ , тому $d_{2}^{2} = 8 + 25 - 202 \cdot (- \frac{2}{2})$ ;
$d_{2}^{2} = 33 + 20 = 53$ .

Відповідь:

Діагоналі дорівнюють $13$ см і $53$ см.

Розбір зрозумілий?