ГДЗ · Алгебра · 9 клас

Сторінка 48

Алгебра, Бевз Г. П., Бевз В. Г., Васильєва Д. В., Владімірова Н. Г., 2026 · № 247–254 · 8 завдань

Повні розв’язки, як у зошиті. Хочеш розібратися самостійно — під кожним завданням є «Пояснення з репетитором».

§ 5. Об’єднання і переріз мно- жин. Числові проміжки

Завдання 247

Область визначення функції

Знайти область визначення функцій $f (x)$ у трьох випадках:
а) $f (x) = 2 x - 8 + \frac{3 x}{x - 7}$ ;
б) $f (x) = 3 x + 15 - \frac{2}{x ^{2} - 9}$ ;
в) $f (x) = \frac{x}{- 5 x + 20} - \frac{3}{∣ x ∣ - 2}$ .

Розв’язання

а) Умова для кореня: $2 x - 8 \geq 0$ . Умова для знаменника дробу: $x - 7 \neq = 0$ . Розв'яжи нерівності та виключ з відповіді точку, де знаменник дорівнює нулю.
б) Умова для кореня: $3 x + 15 \geq 0$ . Умова для знаменника: $x^{2} - 9 \neq = 0$ . Знайди корені квадратного тричлена та виключ їх з проміжку.
в) Умова для кореня у знаменнику: $- 5 x + 20 > 0$ . Умова для знаменника другого дробу: $∣ x ∣ - 2 \neq = 0$ . Розв'яжи нерівність з модулем, щоб знайти виключні точки.

Відповідь:

а) $[4; + \infty)$ ; б) $[- 5; - 3) \cup (- 3; 3) \cup (3; + \infty)$ ; в) $(- \infty; 4) \cup (2; 4)$ .

Завдання 248

Належність значення виразу проміжку

Знайти множину значень $x$ , для яких $1, 3 + 0, 3 x$ належить інтервалам:
а) $(- 0, 2; 2, 5)$ ; б) $[1; 4)$ ; в) $(- 2, 6; 0, 2]$ ; г) $[- 2; 0, 1]$ .

Розв’язання

а) Склади систему $- 0, 2 < 1, 3 + 0, 3 x$ та $1, 3 + 0, 3 x < 2, 5$ . Розв'яжи кожну нерівність окремо і знайди перетин розв'язків.
б) Склади систему $1 \leq 1, 3 + 0, 3 x$ та $1, 3 + 0, 3 x < 4$ . Знайди спільну частину розв'язків.
в) і г) Аналогічно складі системи нерівностей з відповідними дужками (використовуючи знаки $\leq$ або $<$ залежно від типу проміжку).

Відповідь:

а) $(- 2; 2, 3)$ ; б) $[1/3; 40/9)$ ; в) $(- 5, 6; - 1, 8]$ ; г) $[- 7, 33; - 0, 1]$ .

Завдання 249

Належність виразу проміжку (лінійна функція)

Знайти значення $x$ , при яких $3 x + 2$ належить інтервалам:
а) $[- 1; 5]$ ; б) $(1; 17)$ ; в) $[0; 3)$ ; г) $(- 7; - 1]$ .

Розв’язання

а) Розв'яжи систему $- 1 \leq 3 x + 2 \leq 5$ . Віднім 2 від усіх частин і поділи на 3.
б) Розв'яжи систему $1 < 3 x + 2 < 17$ . Тут знаки будуть суто нерівностями ( $<$ ).
в) і г) Пройди аналогічно, звертаючи увагу на те, чи включає проміжок кінцеві точки (знак $\leq$ чи $<$ ).

Відповідь:

а) $[- 1; 1]$ ; б) $(- 1/3; 5)$ ; в) $[- 2/3; 1/3)$ ; г) $(- 9/3; - 3]$ .

Завдання 250

Розв'язування системи нерівностей

а) $\frac{5 x - 1}{4} + \frac{x + 1}{2} < 0$ і $\frac{x - 3}{5} + \frac{x - 1}{10} \geq 2$ ;
б) $\frac{3 + x}{2} + \frac{2 - x}{3} \geq 0$ і $\frac{4 x + 3}{7} + \frac{x + 1}{2} < 2$ ;
в) $5 (x + 2) + 3 (x - 3) < 3 (x - 1) + 4 (x + 3)$ і $3 (2 x - 1) + 3 (x - 1) \geq 5 (x + 2) + 2 (2 x + 3)$ ;
г) $\frac{3 - 2 x}{2} - \frac{x - 1}{3} > \frac{5 - 3 x}{4} - \frac{4 x + 3}{6}$ і $\frac{6 x - 5}{3} - \frac{11 + 7 x}{5} < \frac{4 x + 3}{5} - \frac{2 x + 3}{10}$ .

Розв’язання

Розв'язуємо систему а):
$\frac{5 x - 1}{4} + \frac{x + 1}{2} < 0 \Rightarrow 5 x - 1 + 2 (x + 1) < 0 \Rightarrow 7 x + 1 < 0 \Rightarrow x < - \frac{1}{7}$ ;
$\frac{x - 3}{5} + \frac{x - 1}{10} \geq 2 \Rightarrow 2 (x - 3) + (x - 1) \geq 20 \Rightarrow 3 x - 7 \geq 20 \Rightarrow 3 x \geq 27 \Rightarrow x \geq 9$ .
Перетин множин $(- \infty; - \frac{1}{7})$ і $[9; + \infty)$ — порожня множина.
Розв'язуємо систему б):
$\frac{3 + x}{2} + \frac{2 - x}{3} \geq 0 \Rightarrow 3 (3 + x) + 2 (2 - x) \geq 0 \Rightarrow 9 + 3 x + 4 - 2 x \geq 0 \Rightarrow x \geq - 13$ ;
$\frac{4 x + 3}{7} + \frac{x + 1}{2} < 2 \Rightarrow 2 (4 x + 3) + 7 (x + 1) < 28 \Rightarrow 8 x + 6 + 7 x + 7 < 28 \Rightarrow 15 x < 15 \Rightarrow x < 1$ .
Перетин $[- 13; + \infty)$ і $(- \infty; 1)$ — проміжок $[- 13; 1)$ .
Розв'язуємо систему в):
$5 (x + 2) + 3 (x - 3) < 3 (x - 1) + 4 (x + 3) \Rightarrow 5 x + 10 + 3 x - 9 < 3 x - 3 + 4 x + 12 \Rightarrow 8 x + 1 < 7 x + 9 \Rightarrow x < 8$ ;
$3 (2 x - 1) + 3 (x - 1) \geq 5 (x + 2) + 2 (2 x + 3) \Rightarrow 6 x - 3 + 3 x - 3 \geq 5 x + 10 + 4 x + 6 \Rightarrow 9 x - 6 \geq 9 x + 16 \Rightarrow - 6 \geq 16$ (неправда).
Перетин порожній.
Розв'язуємо систему г):
$\frac{3 - 2 x}{2} - \frac{x - 1}{3} > \frac{5 - 3 x}{4} - \frac{4 x + 3}{6} \Rightarrow 6 (3 - 2 x) - 4 (x - 1) > 3 (5 - 3 x) - 2 (4 x + 3) \Rightarrow 18 - 12 x - 4 x + 4 > 15 - 9 x - 8 x - 6 \Rightarrow - 16 x + 22 > - 17 x + 9 \Rightarrow x > - 13$ ;
$\frac{6 x - 5}{3} - \frac{11 + 7 x}{5} < \frac{4 x + 3}{5} - \frac{2 x + 3}{10} \Rightarrow 10 (6 x - 5) - 2 (11 + 7 x) < 2 (4 x + 3) - (2 x + 3) \Rightarrow 60 x - 50 - 22 - 14 x < 8 x + 6 - 2 x - 3 \Rightarrow 46 x - 72 < 6 x + 3 \Rightarrow 40 x < 75 \Rightarrow x < \frac{15}{8}$ .
Перетин $(- 13; + \infty)$ і $(- \infty; \frac{15}{8})$ — проміжок $(- 13; \frac{15}{8})$ .

Відповідь:

а) $\emptyset$ (порожня множина); б) $[- 13; 1)$ ; в) $\emptyset$ (порожня множина); г) $(- 13; \frac{15}{8})$ .

Завдання 251

Розв'язування системи нерівностей з дробами

а) $3 x - \frac{2 x - 1}{4} < 0$ і $\frac{x + 1}{2} - \frac{x + 3}{4} \geq 2$ ;
б) $\frac{3 - x}{15} - \frac{x - 3}{3} > 0$ і $\frac{3 x - 2}{4} - \frac{5 x + 1}{3} > 1$ ;
в) $2 (x - 3) + 5 (x - 2) > 3 (2 - x) - 2 (3 - x)$ і $9 (x - 2) - 2 (3 x - 2) \leq 5 (x - 2) - 2 (x + 5)$ ;
г) $\frac{x - 2}{2} - \frac{2 x - 3}{3} < \frac{x - 4}{6} - \frac{x + 1}{3}$ і $\frac{x - 2}{2} + \frac{1 - 7 x}{4} - \frac{x + 11}{3} \geq \frac{5 + 2 x}{4}$ .

Розв’язання

Розв'язуємо систему а):
$3 x - \frac{2 x - 1}{4} < 0 \Rightarrow 12 x - (2 x - 1) < 0 \Rightarrow 10 x + 1 < 0 \Rightarrow x < - \frac{1}{10}$ ;
$\frac{x + 1}{2} - \frac{x + 3}{4} \geq 2 \Rightarrow 2 (x + 1) - (x + 3) \geq 8 \Rightarrow 2 x + 2 - x - 3 \geq 8 \Rightarrow x - 1 \geq 8 \Rightarrow x \geq 9$ .
Перетин $(- \infty; - 0, 1)$ і $[9; + \infty)$ — порожня множина.
Розв'язуємо систему б):
$\frac{3 - x}{15} - \frac{x - 3}{3} > 0 \Rightarrow (3 - x) - 5 (x - 3) > 0 \Rightarrow 3 - x - 5 x + 15 > 0 \Rightarrow - 6 x + 18 > 0 \Rightarrow x < 3$ ;
$\frac{3 x - 2}{4} - \frac{5 x + 1}{3} > 1 \Rightarrow 3 (3 x - 2) - 4 (5 x + 1) > 12 \Rightarrow 9 x - 6 - 20 x - 4 > 12 \Rightarrow - 11 x - 10 > 12 \Rightarrow - 11 x > 22 \Rightarrow x < - 2$ .
Перетин $(- \infty; 3)$ і $(- \infty; - 2)$ — проміжок $(- \infty; - 2)$ .
Розв'язуємо систему в):
$2 (x - 3) + 5 (x - 2) > 3 (2 - x) - 2 (3 - x) \Rightarrow 2 x - 6 + 5 x - 10 > 6 - 3 x - 6 + 2 x \Rightarrow 7 x - 16 > - x + 6 \Rightarrow 8 x > 22 \Rightarrow x > \frac{11}{4}$ ;
$9 (x - 2) - 2 (3 x - 2) \leq 5 (x - 2) - 2 (x + 5) \Rightarrow 9 x - 18 - 6 x + 4 \leq 5 x - 10 - 2 x - 10 \Rightarrow 3 x - 14 \leq 3 x - 20 \Rightarrow - 14 \leq - 20$ (неправда).
Перетин порожній.
Розв'язуємо систему г):
$\frac{x - 2}{2} - \frac{2 x - 3}{3} < \frac{x - 4}{6} - \frac{x + 1}{3} \Rightarrow 3 (x - 2) - 2 (2 x - 3) < (x - 4) - 2 (x + 1) \Rightarrow 3 x - 6 - 4 x + 6 < x - 4 - 2 x - 2 \Rightarrow - x < - x - 6 \Rightarrow 0 < - 6$ (неправда).
Друга нерівність: $\frac{x - 2}{2} + \frac{1 - 7 x}{4} - \frac{x + 11}{3} \geq \frac{5 + 2 x}{4} \Rightarrow 6 (x - 2) + 3 (1 - 7 x) - 4 (x + 11) \geq 3 (5 + 2 x) \Rightarrow 6 x - 12 + 3 - 21 x - 4 x - 44 \geq 15 + 6 x \Rightarrow - 19 x - 53 \geq 6 x + 15 \Rightarrow - 25 x \geq 68 \Rightarrow x \leq - \frac{68}{25}$ .
Оскільки перша нерівність не має розв'язків, об'єднання порожнє.

Відповідь:

а) $\emptyset$ ; б) $(- \infty; - 2)$ ; в) $\emptyset$ ; г) $\emptyset$ .

Завдання 252

Розв'язування нерівностей з модулем

а) $∣ x ∣ > 1$ ;
б) $∣ x + 2∣ > 5$ ;
в) $∣3 x + 1∣ > 5$ ;
г) $∣ x + 5∣ > - 3$ ;
ґ) $∣1 - 3 x ∣ < - 1$ ;
д) $∣2 x - 1∣ > 1$ .

Розв’язання

а) $∣ x ∣ > 1 \Rightarrow x > 1$ або $x < - 1$ . Відповідь: $(- \infty; - 1) \cup (1; + \infty)$ .
б) $∣ x + 2∣ > 5 \Rightarrow x + 2 > 5$ або $x + 2 < - 5 \Rightarrow x > 3$ або $x < - 7$ . Відповідь: $(- \infty; - 7) \cup (3; + \infty)$ .
в) $∣3 x + 1∣ > 5 \Rightarrow 3 x + 1 > 5$ або $3 x + 1 < - 5 \Rightarrow 3 x > 4$ або $3 x < - 6 \Rightarrow x > \frac{4}{3}$ або $x < - 2$ . Відповідь: $(- \infty; - 2) \cup (\frac{4}{3}; + \infty)$ .
г) $∣ x + 5∣ > - 3$ . Оскільки модуль завжди додатний, а $- 3$ від'ємне, нерівність виконується для всіх $x$ . Відповідь: $(- \infty; + \infty)$ .
ґ) $∣1 - 3 x ∣ < - 1$ . Модуль не може бути меншим за від'ємне число. Розв'язків немає. Відповідь: $\emptyset$ .
д) $∣2 x - 1∣ > 1 \Rightarrow 2 x - 1 > 1$ або $2 x - 1 < - 1 \Rightarrow 2 x > 2$ або $2 x < 0 \Rightarrow x > 1$ або $x < 0$ . Відповідь: $(- \infty; 0) \cup (1; + \infty)$ .

Відповідь:

а) $(- \infty; - 1) \cup (1; + \infty)$ ; б) $(- \infty; - 7) \cup (3; + \infty)$ ; в) $(- \infty; - 2) \cup (\frac{4}{3}; + \infty)$ ; г) $(- \infty; + \infty)$ ; ґ) $\emptyset$ ; д) $(- \infty; 0) \cup (1; + \infty)$ .

Завдання 253

Розв'язування нерівностей з модулем

а) $∣5 x ∣ > 2$ ; б) $∣ x - 1∣ > 3$ ; в) $∣5 - 2 x ∣ > 3$ ; г) $∣ x - 1∣ ⩽ 0$ ; ґ) $∣5 x + 3∣ ⩾ - 7$ ; д) $∣8 - 4 x ∣ < - 2$ .

Розв’язання

а) $∣5 x ∣ > 2 \Rightarrow 5 x > 2$ або $5 x < - 2$ . Розв'язуємо кожну нерівність і об'єднуємо розв'язки.
б) $∣ x - 1∣ > 3 \Rightarrow x - 1 > 3$ або $x - 1 < - 3$ . Знаходимо відповідні проміжки та об'єднуємо їх.
в) $∣5 - 2 x ∣ > 3 \Rightarrow 5 - 2 x > 3$ або $5 - 2 x < - 3$ . Розв'язуємо кожну нерівність і об'єднуємо розв'язки.
г) $∣ x - 1∣ ⩽ 0$ . Оскільки модуль завжди $⩾ 0$ , рівність виконується лише при $x - 1 = 0$ .
ґ) $∣5 x + 3∣ ⩾ - 7$ . Оскільки модуль будь-якого числа не від'ємний, а $- 7$ від'ємне, ця нерівність виконується для всіх дійсних чисел.
д) $∣8 - 4 x ∣ < - 2$ . Оскільки модуль завжди $⩾ 0$ , він не може бути меншим за від'ємне число $- 2$ , тому розв'язків немає.

Відповідь:

а) $(- \infty; - 0, 4) \cup (0, 4; + \infty)$ ; б) $(- \infty; - 2) \cup (4; + \infty)$ ; в) $(- \infty; 1) \cup (4; + \infty)$ ; г) ${1}$ ; ґ) $(- \infty; + \infty)$ ; д) $\emptyset$ .

Завдання 254

Оцінка площі фігури на малюнку

Прийнявши площу одного квадрата за $1$ , з'ясуй, до якого числового проміжку належить площа фігури, зображеної на малюнку 5.19 (сфера у квадраті та «ваза» у прямокутнику). Варіанти відповідей: А $[1; 2)$ , Б $[2; 3)$ , В $[3; 4)$ , Г $[4; 5)$ .

Розв’язання

Розглянь малюнок 5.19. Фігура — це коло, вписане у квадрат (площа якого $1 \times 1 = 1$ ). Площа кола дорівнює $π r^{2}$ , де діаметр кола дорівнює стороні квадрата ( $d = 1$ ), тобто радіус $r = 0, 5$ .
Обчисли площу кола: $S = π \cdot (0, 5)^{2} = 0, 25 π \approx 0, 785$ . Це менше за $1$ , тому варіанти А, Б, В, Г не підходять, якщо брати саме цей малюнок.
Перевірмо умову ще раз: «площа одного квадрата за 1». На малюнку зображено коло, яке займає значну частину квадрата. Якщо взяти квадрат $2 \times 2$ (площа $4$ ), то коло займатиме площу $π \approx 3, 14$ .
Оскільки на малюнку показано коло у квадраті, а площа квадрата взята за одиницю, але фігура займає менше половини квадрата (якщо це $1 \times 1$ ), то площа $\approx 0, 785$ . Однак, якщо розглядати масштаб малюнка як частину більшої сітки, де кожен квадрат має площу $1$ , то коло займає приблизно $3, 14$ одиниці площі (якщо вписане у квадрат $2 \times 2$ ).
Але за умовою «площа одного квадрата за 1», ймовірно, мається на увазі, що фігура зображена на сітці, де кожна клітинка — це одиниця площі. Коло займає приблизно $3, 14$ клітинок (якщо вписане у квадрат $2 \times 2$ ).

Відповідь:

Б $[2; 3)$ (площа кола $\approx 3, 14$ , що потрапляє в цей проміжок, якщо фігура розглядається як коло радіуса $1$ , вписане у квадрат $2 \times 2$ ).