Сторінка 49

Розв’язання

1. Розглянемо пункт а). Оскільки об'єднання дає $R$, проміжки мають бути суміжними або перетинатися так, щоб не залишити дірки. Оскільки це відкриті проміжки, точка $a$ має бути більшою за точку $c$, щоб вони "зашити" проміжок між собою: $(-\infty ;a)\cup (c;+\infty )=R\Rightarrow a>c$.

2. Розглянемо пункт б). Переріз $(a;x)$ і $(x;c)$ порожній, якщо ці проміжки не мають спільних точок. Це відбувається, коли правий кінець першого менший за лівий кінець другого: $x\le a$. Але оскільки проміжки відкриті, то $a<x$. Отже, умова порожнечі виконується, якщо $a<x<c$ неможливо. Насправді, якщо $a<x$, то перший проміжок закінчується до початку другого. Точніше: $(a;x)\cap (x;c)=\varnothing$ завжди вірно для будь-яких $a<x<c$. Але якщо $x\le a$, то перший проміжок порожній або лежить ліворуч. Умова задачі — це рівність, а не нерівність. Переріз двох непорожніх відкритих проміжків порожній, якщо вони розділені точкою $x$. Тобто $a<x<c$ дає порожній переріз? Ні, $(a;x)\cap (x;c)=\varnothing$ вірно завжди, якщо $a<x<c$. Але якщо $x\le a$, то $(a;x)=\varnothing$. Припустимо, що проміжки непорожні. Тоді $a<x<c$.

3. Розглянемо пункт в). Переріз $(y;a)$ і $(c;y)$ порожній. Аналогічно до пункту б), це можливо, якщо $c\le y<a$. Якщо проміжки непорожні, то $c<y<a$.

4. Розглянемо пункт г). Об'єднання $(a;+\infty )$ і $(-\infty ;c)$ дає $R$. Це можливо лише якщо ці проміжки перетинаються або є суміжними, але оскільки це відкриті проміжки, щоб отримати всю вісь без дірок, вони мають перетинатися. Тобто $c>a$.

Розв’язання

1. Розглянемо пункт а). Щоб об'єднання дорівнювало $(a;b)$, множина $(m;n)$ має бути підмножиною $(a;b)$. Це означає, що ліва границя $m$ має бути більшою або рівною $a$, а права границя $n$ — меншою або рівною $b$: $a\le m<n\le b$.

2. Розглянемо пункт б). Щоб переріз дорівнював $(a;b)$, множина $(a;b)$ має бути підмножиною $(m;n)$. Це означає, що ліва границя $m$ має бути меншою або рівною $a$, а права границя $n$ — більшою або рівною $b$: $m\le a<b\le n$.

Розв’язання

1. Розглянемо пункт а). Оскільки $(a;c)\cap (x;y)=(a;c)$, то $(a;c)$ є підмножиною $(x;y)$. Це означає, що $x\le a<c\le y$.

2. Розглянемо пункт б). Оскільки $(a;c)\cap (x;y)=(x;y)$, то $(x;y)$ є підмножиною $(a;c)$. Це означає, що $a\le x<y\le c$.

3. Розглянемо пункт в). Оскільки $(a;c)\cup (x;y)=(a;c)$, то $(x;y)$ є підмножиною $(a;c)$. Це означає, що $a\le x<y\le c$.

4. Розглянемо пункт г). Об'єднання $(a;c)\cup (x;y)=(a;y)$. Оскільки об'єднання збільшує множину, то $(a;y)$ має бути більшим за $(a;c)$, отже $y>c$. Також проміжок $(x;y)$ має "доповнити" $(a;c)$ до $(a;y)$. Це можливо, якщо $x\le a$ і $c<y$. Тобто $(x;y)=(x;c)\cup (c;y)$, але оскільки це один проміжок, то $x\le a$ і $y>c$.

Розв’язання

1. Для випадку а) проміжок $(a;y)$ є спільною частиною $(a;+\infty )$ та $(x;y)$, отже $a<x$ і $y<+\infty$, що дає $a<x<y$.

2. Для випадку б) об'єднання дорівнює $(a;+\infty )$, тому перший проміжок має охоплювати другий або бути більшим справа, тобто $x\le a$ і $y>a$.

3. Для випадку в) об'єднання дорівнює $(-\infty ;y)$, отже $a<x$ і $y>a$, що дає $a<x<y$.

4. Для випадку г) переріз дорівнює $(-\infty ;a)$, тому другий проміжок має бути більшим зліва, тобто $x\le a$ і $y>a$.

Розв’язання

1. Вартість економії на одному паунку товару: $15-11=4$ грошових одиниці.

2. Заробіток за годину черги становить $10$ грошових одиниць.

3. Оскільки виграш від економії ($4$) менший за заробіток за час черги ($10$), вигідно купувати товар у магазині, якщо він є одним. Якщо ж їх кілька, то загальна економія має перевищити $10$.

Розв’язання

1. Порахуємо кількість кубиків $n$ по шарах (від верхнього до нижнього): Верхній шар має $2$ куби, другий — $6$, третій — $10$, четвертий — $14$. Сума: $2+6+10+14=32$.

2. Обчислимо загальну кількість кубиків у прямокутному паралелепіпеді розміром $4\times 4\times 5$: $V=4\cdot 4\cdot 5=80$ кубиків.

3. Знайдемо кількість додаткових кубиків $t$: $t=80-32=48$.